§ 4. Смысл волновой функции

Когда Шредингер впервые открыл свое уравнение, он открыл заодно, что закон сохранения (19.8) есть следствие этого урав­нения. Но он неправильно решил, что Р это плотность элект­рического заряда электрона, a J — плотность электрического тока, т. е. он думал, что электроны взаимодействуют с элект­ромагнитным полем через эти заряды и токи. Решая свои урав­нения для атома водорода и вычисляя , он не вычислял ника­кой амплитуды (в то время еще не было амплитуд), а толковал это совершенно иначе. Атомное ядро было стационарно, вокруг же него текли токи; заряды Р и токи J генерировали электро­магнитные поля, и все вместе это излучало свет. Но вскоре, ре­шая задачу за задачей, он понял, что рассуждает не вполне правильно. И именно в этот момент Борн выдвинул весьма не­тривиальную идею. Именно Борн правильно (насколько нам известно) отождествил  в уравнении Шредингера с амплиту­дой вероятности, предположив, что квадрат амплитуды — это не плотность заряда, а всего лишь вероятность (на единицу объе­ма) обнаружить там электрон и что если вы находите элек­трон в некотором месте, то там окажется и весь его заряд. Вся эта идея принадлежит Борну.

Волновая функция (r) электрона в атоме не описывает, стало быть, размазанного электрона с плавно меняющейся плотностью заряда. Электрон может быть либо здесь, либо там, либо где-то еще, но где бы он ни был, он всегда—точечный заряд. Но, с другой стороны, представим себе случай, когда огромное число частиц находится в одном и том же состоянии, очень боль­шое их число с одной и той же волновой функцией. Что тогда? Одна из них будет здесь, другая — там, и вероятность обнару­жить любую из них в данном месте пропорциональна *. Но поскольку частиц так много, то, если я посмотрю в какой-ни­будь объем dxdydz, я, вообще говоря, обнаружу там примерно *dxdydz частиц. Итак, когда — волновая функция каж­дой из огромного количества частиц, поголовно пребывающих в одном и том же состоянии, то в этом случае * можно отождест­влять с плотностью частиц. Если в этих условиях все частицы несут одинаковые заряды q, то мы можем пойти дальше и отож­дествить * с плотностью электричества. Обычно, если * имеет размерность плотности вероятности, то * надо умножить на q, чтобы получить размерность плотности заряда. Для на­ших теперешних целей мы можем включить этот постоянный множитель в  и принять за плотность электрического заряда само *. Если помнить об этом, то J^ (тот ток вероятности, ко­торый я вычислил) можно будет считать просто плотностью электрического тока.

Итак, когда в одном и том же состоянии может находиться очень много частиц, возможно иное физическое толкование волновых функций. Плотность заряда и электрический ток мо­гут быть вычислены прямо из волновых функций, и волновые функции приобретают физический смысл, который распростра­няется на классические, макроскопические ситуации.

Нечто подобное может случиться и с нейтральными частица­ми. Если у нас имеется волновая функция отдельного фотона, то это — амплитуда того, что он будет обнаружен где-то. Хотя мы и не писали его, однако существует уравнение для фотонной вол­новой функции, аналогичное уравнению Шредингера для элек­трона. Фотонное уравнение попросту совпадает с уравнениями Максвелла для электромагнитного поля, а волновая функция — с векторным потенциалом А. Волновая функция оказывается обычным векторным потенциалом. Физика квантов света совпа­даете классической физикой, потому что фотоны суть невзаимо­действующие бозе-частицы и многие из них могут пребывать в одинаковом состоянии; более того, как вы знаете, они любят бы­вать в одинаковом состоянии. В момент, когда мириады их ока­жутся в одном и том же состоянии (т. е. в одной и той же электро­магнитной волне), вы сможете непосредственно измерить волно­вую функцию (т. е. векторный потенциал). Конечно, исторически все шло иным путем. Первые наблюдения были проведены при таких обстоятельствах, когда было много фотонов в одинако­вом состоянии, и тем самым удалось открыть правильные урав­нения для отдельного фотона, наблюдая непосредственно своими глазами природу волновой функции на макроскопическом уровне.

Трудность с электроном состоит в том, что вы не можете по­местить в одно и то же состояние больше одного электрона. Поэтому очень долго считалось, что волновая функция уравне­ния Шредингера никогда не будет иметь макроскопического представления, подобного макроскопическому представлению амплитуды для фотонов. Но теперь стало ясно, что явление сверх­проводимости представляет именно такой случай.