- •§ 1. Состояния электрона в одномерной решетке
- •§ 2. Состояния определенной энергии
- •§ 3. Состояния, зависящие от времени
- •§ 4. Электрон в трехмерной решетке
- •§ 5. Другие состояния в решетке
- •§ 6. Рассеяние па нерегулярностях решетки
- •§ 7. Захват нерегулярностями решетки
- •§ 8. Амплитуды рассеяния и связанные состояния
- •§ 2. Примесные полупроводники
- •§ 3. Эффект Холла
- •§ 4. Переходы между полупроводниками
- •§ 5. Выпрямление на полупроводниковом переходе
- •§ 6. Транзистор
- •§ 2. Две спиновые волны
- •§ 3. Независимые частицы
- •§ 4. Молекула бензола
- •§ 5. Еще немного органической химии
- •§ 6. Другие применения приближения
- •§ 2. Волновая функция
- •§ 3. Состояния с определенным импульсом
- •§ 4. Нормировка состояний с определенной координатой х
- •§ 5. Уравнение Шредингера
- •§ 6. Квантованные уровни энергии
- •§ 2. Симметрия и ее сохранение
- •§ 3. Законы сохранения
- •§ 4. Поляризованный свет
- •§ 5. Распад 0
- •§ 6. Сводка матриц поворота
- •Глава 16
- •§ 2. Рассеяние света
- •§ 3. Аннигиляция позитрония
- •§ 4. Матрица поворота для произвольного спина
- •§ 5. Измерение ядерного спина
- •§ 6. Сложение моментов количества движения
- •Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона
- •Атом водорода
- •§ 2. Сферически симметричные решения
- •§ 3. Состояния с угловой зависимостью
- •§ 4. Общее решение для водорода
- •§ 5. Волновые функции водорода
- •§ 6. Периодическая таблица
- •Глава 18 операторы
- •§ 2. Средние энергии
- •§ 3. Средняя энергия атома
- •§ 4. Оператор места
- •§ 5. Оператор импульса
- •§ 6. Момент количества движения
- •§ 7. Изменение средних со временем
- •§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей
- •§ 3. Два рода импульсов
- •§ 4. Смысл волновой функции
- •§ 5. Сверхпроводимость
- •§ 6. Явление Мейсснера
- •§ 7. Квантование потока
- •§ 8. Динамика сверхпроводимости
- •§ 9. Переходы Джозефсона
§ 2. Волновая функция
Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу и изучим проблему описания движения электрона по прямой, не рассматривая состояний, связанных с атомами решетки. Мы хотим возвратиться к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной частицы в пространстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным множеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют некоторых технических видоизменений.
Начнем с того, что вектором состояния |х> обозначим состояние, в котором частица расположена в точности в точке с координатой х. Для каждого значения х вдоль прямой — для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д.— имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния |х> в качестве базисных. Если это сделать для всех точек х прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем |>, в котором электрон как-то распределен вдоль прямой. Один из способов описать это состояние — задать все амплитуды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний |x>. Надо задать бесконечную совокупность амплитуд, по одной для каждого х. Запишем их в виде <x|>. Каждая из этих амплитуд — комплексное число, и поскольку для каждого значения х существует одно такое число, амплитуда <x|> является в действительности просто функцией х. Запишем ее также в виде С (х):
Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерывным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импульсом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему определенную энергию Е, то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте x, такова:
<x|> = С (x) ~e+ipx/h. (14.15)
Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответствующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями определенного импульса. В некоторых задачах состояния определенного импульса удобнее, чем состояния с определенным х. И любая другая система базисных состояний также годится для описания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний |х>.
Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции С (х), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния |>. Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции С (х) идет речь, поставив снизу индекс, скажем С(х). Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву С и пользуются символом для определения функции
Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему и не пугаться, встретив его где-нибудь. Надо только помнить, что теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14) обозначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14.16) слева символ применяется для определения математической функции от х, равной амплитуде, связываемой с каждой точкой х прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию (х) обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных.
Раз мы определили (х) как амплитуду того, что электрон в состоянии обнаружится в точке х, то хотелось бы интерпретировать квадрат абсолютной величины как вероятность обнаружить электрон в точке х. Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке бесконечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятностей, которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть Вер. (х, х) обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале х: возле точки х. Если мы в каждой физической ситуации будем пользоваться достаточно мелким масштабом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, и вероятность обнаружить электрон в произвольном конечном маленьком отрезке прямой х; будет пропорциональна х. И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено. Можно считать, что амплитуда <x|> представляет своего рода «плотность амплитуд» для всех базисных состояний |х> 1 в узком интервале х. Поскольку вероятность обнаружить
iэлектрон в узком интервале х вблизи х должна быть пропорциональна длине интервала х, мы выберем такое определение <х |>, чтобы соблюдалось следующее условие: Вер. (х, х)=| <x||>|2х. Амплитуда <x|> поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии будет обнаружен в базисном состоянии х, а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды <x|> дает плотность вероятности обнаружить электрон в любом узком интервале. Можно писать и так:
Вер. (x, х)=| (х)|2 х. (14.17)
Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии |>, а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в другом состоянии |>, которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конечной системе дискретных состояний, мы пользовались уравнением (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать
А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала х будет эквивалентна умножению на x, а сумма по всем значениям х превратится просто в интеграл. При наших измененных определениях правильная формула будет такой:
Амплитуда <x|> — это то, что мы теперь называем (х); точно так же амплитуду <x|> мы обозначим (х). Вспоминая, что <|x> комплексно сопряжена с <x|>, мы можем (14.18) переписать в виде
При наших новых определениях все формулы останутся прежними, если только всюду знак суммы заменить интегрированием по х.
К тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы она сполна отражала все, что происходит. Для одномерного движения электрона в действительности недостаточно указать только базисные состояния |x>, потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз. Один из способов получить полную систему — взять две совокупности состояний по х: одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности.