§ 4. Общее решение для водорода

В уравнении (17.35) мы записали волновые функции ато­ма водорода в виде

Эти волновые функции должны быть решениями дифференци­ального уравнения (17.7). Посмотрим, что это означает. Под­ставим (17.37) в (17.7); получим

Помножим все на r²/F_l и переставим члены; результат будет таков:

Левая часть этого уравнения зависит от  и , а от r не зависит. Какое бы значение r мы ни взяли, от этого левая часть не изме­нится. Значит, то же должно быть выполнено и для правой части. Хотя в выражении в квадратных скобках там и сям попадаются разные r, все выражение от r зависеть не может, иначе бы не получилось уравнение, которое годится для всех r. Кроме того, как вы видите, эта скобка не зависит ни от , ни от . Она должна быть постоянным числом. Его величина имеет право зато зави­сеть от значения l того состояния, которое мы изучаем, поскольку этому состоянию принадлежит функция F_l; поэтому постоянное число мы обозначим K_l. Уравнение (17.35), стало быть, равно­значно двум уравнениям

Теперь взглянем на то, что мы сделали. Для каждого состоя­ния, описываемого числами l и m, мы знаем функции Y_l,m; тогда из уравнения (17.40) можно определить K_l Затем, подставив K_l в (17.41), мы получим дифференциальное уравнение для функции F_l (r). Если мы его сможем решить, то все множители, входящие в (17.37), нам станут известны, и мы узнаем (r).

Чему же равно К_l? Ну, во-первых, заметьте, что при всех т (входящих в данное l) оно должно быть одним и тем же, поэтому мы вправе выбрать в Y_l,m то m, какое нам нравится, и вставить его в (17.40). Пожалуй, проще всего взять Y_l,l. Из уравнения (16.24)

Матричный элемент R_y() тоже совсем прост:

где b — некоторое число. Объединяя их, получаем

Подстановка этой функции в (17.40) даст

Теперь, когда мы определили К_l, уравнение (17.41) даст нам радиальную функцию F_l (r). Перед нами обычное уравнение Шредингера, у которого угловая часть заменена ее эквивален­том K_lF_l/r². Перепишем (17.41) в той форме, в какой мы писали уравнение (17.8):

У потенциальной энергии появилась какая-то таинственная добавка. Хотя она появилась на свет после длинной серии мате­матических шагов, тем не менее у нее простое физическое проис­хождение. Мы беремся рассказать о ее происхождении при помощи полуклассических аргументов. После этого она уже не покажется вам такой таинственной.

Представим классическую частицу, вращающуюся вокруг некоторого силового центра. Полная энергия сохраняется и является суммой потенциальной и кинетической энергий

В общем случае v разлагается на радиальную компоненту v_r и на касательную компоненту r, т. е.

v²=v²r+(r)².

Момент количества движения mr² тоже сохраняется; пусть он равняется L. Тогда можно написать

mr²=L, или r =L/mr ,

т. е. энергия равна

Если бы момента количества движения не было, у нас осталось бы только два первых члена. Добавление момента количества движения L изменяет энергию как раз так, как если бы к потен­циальной энергии добавился член L²/2mr². Но он почти точно совпадает с добавкой (17.46). Единственная разница в том, что вместо ожидаемого числителя l²h² (этого можно было бы ожидать) появляется комбинация l(l+1)h² Но мы еще раньше видели [например, в гл. 34, § 7 (вып. 7)], что это обычная замена, к которой всегда приходится прибегать, если хотят, чтобы квази­классические рассуждения совпали с правильным квантовомеханическим расчетом. Поэтому новый член можно понимать как своего рода «потенциал», определяющий «центробежную силу» и возникающий в уравнениях радиального движения вращаю­щейся системы [см. гл. 12, § 5 (вып. 1)].

Теперь мы уже можем решить уравнение (17.46) относительно F_l(r). Оно очень похоже на (17.8), так что прибегнем к той же технике. Все повторяется вплоть до уравнения (17.19), в кото­ром появится добавочный член

Его можно записать еще и так:

(Мы выделили первый член, а затем текущий индекс k сдвинули на единицу.) Вместо (17.20) появится

Поскольку член с ^-1 только один, то он должен обратиться в нуль. Коэффициент a₁ должен быть равен нулю (если только l не равно нулю, но тогда мы приходим к нашему прежнему реше­нию). А когда все квадратные скобки при любых k обратятся в нуль, то и все следующие члены станут равны нулю. Из-за этого условие (17.21) переходит в

Это единственное существенное видоизменение по сравнению со сферически симметричным случаем.

Как и раньше, ряд должен оборваться, если мы хотим, чтобы решения представляли связанные электроны. Если n=1, то ряд оборвется на k=n. Условие на а получается таким же: а должно быть равно 1/n, где n — целое число. Однако (17.50) приводит и к новому ограничению. Индекс k не может быть равен l, в противном случае знаменатель обратится в нуль, а а_l+1 — в бесконечность. Иначе говоря, поскольку a₁=0, то (17.50) подразумевает, что все последовательные a_k обращаются в нуль, пока мы не придем к а_l+1, которое может быть и не ну­лем. Это означает, что k должно начинаться с l+1 и кончаться

на п.

Окончательный итог таков: при любом l имеется набор возможных решений, которые мы обозначим F_n,l, где n>l+1. Каждое решение обладает энергией

Волновая функция состояния с такой энергией и с угло­выми квантовыми числами l и m имеет вид

где

Коэффициенты a_k получаются из (17.50). Наконец-то в наших руках полное описание состояний атома водорода.