- •§ 1. Состояния электрона в одномерной решетке
- •§ 2. Состояния определенной энергии
- •§ 3. Состояния, зависящие от времени
- •§ 4. Электрон в трехмерной решетке
- •§ 5. Другие состояния в решетке
- •§ 6. Рассеяние па нерегулярностях решетки
- •§ 7. Захват нерегулярностями решетки
- •§ 8. Амплитуды рассеяния и связанные состояния
- •§ 2. Примесные полупроводники
- •§ 3. Эффект Холла
- •§ 4. Переходы между полупроводниками
- •§ 5. Выпрямление на полупроводниковом переходе
- •§ 6. Транзистор
- •§ 2. Две спиновые волны
- •§ 3. Независимые частицы
- •§ 4. Молекула бензола
- •§ 5. Еще немного органической химии
- •§ 6. Другие применения приближения
- •§ 2. Волновая функция
- •§ 3. Состояния с определенным импульсом
- •§ 4. Нормировка состояний с определенной координатой х
- •§ 5. Уравнение Шредингера
- •§ 6. Квантованные уровни энергии
- •§ 2. Симметрия и ее сохранение
- •§ 3. Законы сохранения
- •§ 4. Поляризованный свет
- •§ 5. Распад 0
- •§ 6. Сводка матриц поворота
- •Глава 16
- •§ 2. Рассеяние света
- •§ 3. Аннигиляция позитрония
- •§ 4. Матрица поворота для произвольного спина
- •§ 5. Измерение ядерного спина
- •§ 6. Сложение моментов количества движения
- •Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона
- •Атом водорода
- •§ 2. Сферически симметричные решения
- •§ 3. Состояния с угловой зависимостью
- •§ 4. Общее решение для водорода
- •§ 5. Волновые функции водорода
- •§ 6. Периодическая таблица
- •Глава 18 операторы
- •§ 2. Средние энергии
- •§ 3. Средняя энергия атома
- •§ 4. Оператор места
- •§ 5. Оператор импульса
- •§ 6. Момент количества движения
- •§ 7. Изменение средних со временем
- •§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей
- •§ 3. Два рода импульсов
- •§ 4. Смысл волновой функции
- •§ 5. Сверхпроводимость
- •§ 6. Явление Мейсснера
- •§ 7. Квантование потока
- •§ 8. Динамика сверхпроводимости
- •§ 9. Переходы Джозефсона
§ 6. Сводка матриц поворота
Теперь мы хотим собрать воедино все, что мы узнали о поворотах частиц со спином 1/2 и спином 1; это будет удобно для дальнейшего. Ниже вы найдете таблицы двух матриц поворота Rz () и Ry() для частиц со спином 1/2, для частиц со спином 1 и для фотонов (частиц со спином 1 и нулевой массой).
Для каждого из них приведены элементы матрицы <j|R|i> поворотов вокруг оси 2 или оси y. Они, конечно, в точности эквивалентны амплитудам типа <+Т|0S>, которыми мы пользовались в предыдущих главах. Под Rz () мы понимаем, что берется проекция состояния на новую систему координат, повернутую на угол вокруг оси z, причем для определения направления поворота всегда применяется правило правой руки; RV() означает, что оси координат повернуты на угол 9 вокруг оси у. Зная эти два поворота, вы запросто сможете рассчитать любой поворот. Как обычно, матричный элемент пишется так, что состояние слева — это базисное состояние новой (повернутой) системы, а состояние справа — это базисное состояние старой (неповернутой) системы. Клетки таблицы можно истолковывать по-разному. К примеру, клетка ei/2 в табл. 15.1 означает, что матричный элемент < — |R| —> = е-i/2. Но это означает также, что R^| —>=е-i/2| — } или что
<— | R^=<— |e-i. Это все одно и то же.
* Вспомните, что спин — это аксиальный вектор и при отражении он переворачивается.
* Мы провели ось z' в плоскости xz и используем матричные элементы для Ry (). То же получилось бы и при другом выборе осей.
* Мы сейчас предполагаем, что механизм квантовой механики вам настолько знаком, что обо всем можно говорить на чисто физическом языке, не тратя времени на расписывание всех математических деталей. Но если то, что мы здесь говорим, вам не очень ясно, то обратитесь к концу этого параграфа, где приведены некоторые недостающие детали.
* Мы попытались на худой конец доказать, что компонента момента количества движения вдоль направления движения у частицы с нулевой массой должна быть, например, кратной h/2, а не h/3. Но даже приведя в действие всевозможные свойства преобразований Лоренца (и многое другое), мы с этим не справились. Может, этой не так. Надо было бы потолковать об этом с профессором Вигнером, который знает все о таких вещах.
* Прошу прощения! Этот угол имеет обратный знак по отношению к использовавшемуся в гл. 9, § 4.
** Как правило, момент количества движения атомной системы весьма удобно измерять в единицах h. Тогда можно говорить, что частица со спином 1/2 обладает по отношению к любой оси моментом количества движения ±1/2. И вообще, что z-компонента момента количества движения есть т. Не приходится все время повторять h.
* Для большей строгости все эти рассуждения нужно было бы провести для малых поворотов . Раз каждый угол представляет собой сумму некоторого числа n таких поворотов, =n, то R^z ()=[Rz ()]n, и общее изменение фазы в n раз превосходит изменение для малого угла 8 и поэтому пропорционально .
* Точнее, мы определим R^z() как поворот физической системы на - вокруг оси z; это то же самое, что повернуть систему координат на +.
** Мы всегда вправе выбрать ось z вдоль направления поля при условии, конечно, что его направление не меняется и что больше полей нет.
* В других книгах вы можете встретить формулы с другими знаками; вероятнее всего, в них используются углы, определенные по-иному.
* Кстати, вы можете доказать, что Q^ — это обязательно унитарный оператор, т. е. если он действует на |>, приводя к |>, умноженному на некоторое число, то это число должно иметь вид еi, где — вещественно. Это мелкое замечание, а доказательство основано на следующем наблюдении. Всякая операция наподобие отражения или поворота не приводит к потере каких-либо частиц, так что нормировки |'> и |> должны совпадать; отличаться они вправе только на множитель с чисто вещественной фазой в показателе.
Литература: А. Р. Эдмондс, Угловые моменты в квантовой механике, в кн. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958.