§ 4. Оператор места

Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |> каково среднее значение координа­ты х? Разберем одномерный случай, а обобщение на трех­мерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией  (x), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем? Очевидно, ∫xP(x)dx, где Р(х)—вероятность обнаружить

электрон в небольшом элементе длины dx возле х. Пусть плот­ность вероятности Р(х) меняется с х так, как показано на фиг. 18.1.

Фиг. 18.1. Кривая плотно­сти вероятности, представ­ляющей локализованную час­тицу.

Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.

Мы видели раньше, что P(x)=|  (x)|²=*(x) (х), значит, среднее х можно записать в виде

Наше уравнение для <x>_ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя  оператор, а когда считаем среднее положение, ставим про­сто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраиче­ский оператор «умножь на х».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали

где

и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |>, чтобы было

Разложим сперва <|> по x-представлению:

Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)

Воздействие на |> оператора х^ для получения |> равнознач­но умножению  (x)=<x|> на х для получения  (х)=<x|>. Перед нами определение оператора х^ в координатном представ­лении.

(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора х^. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что

Тогда вы сможете доказать поразительную формулу

т. е. что оператор х^ обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)

А может, вы хотите знать среднее значение x²? Оно равно

Или, если желаете, можно написать и так:

где

Под x^² подразумевается х^х^ — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x²>_ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состоя­ниями). Если вам нужно знать среднее значение хⁿ или любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.

§ 5. Оператор импульса

Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р)dp — вероят­ность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда

Обозначим теперь через <р|> амплитуду того, что состоя­ние |> есть состояние с определенным импульсом |р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп.р|>; она является функцией от р, как <x|> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было

Тогда получится

что очень похоже на то, что мы имели для <x>_ср.

При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>_ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:

Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <|> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |> определяется в импульсном представлении уравнением

Иначе говоря, теперь можно писать

причем

где оператор р^ определяется на языке p-представления урав­нением (18.47).

[И опять при желании можно показать, что матричная запись р^ такова:

и что

Выводится это так же. как и для х.

Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать <р>_ср так, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл опе­ратора р^ в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать р^ в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция  (x) и мы со­бираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что за­дадим <p>_cp уравнением (18.48), то это уравнение можно бу­дет разложить по p-представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p-представление состояния, а именно амплитуда <p|> как алгебраическая функция импульса p, то из (18.47) можно получить <p|> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x-представлении, а именно волновая функ­ция  (x)=<x|>?

Ну что ж, начнем раскладывать (18.48) в x-представлении.

Напишем

Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние |> в x-представлении. Если мы узнаем это, мы сможем взять ин­теграл. Итак, наша задача — найти функцию  (x)=<x|>. Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, § 3, как <р|> связано с <x|>. Согласно уравнению (14.24),

Если нам известно <р|>, то, решив это уравнение, мы найдем <x|>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через  (x)=<x|>, потому что считается, что именно эта ве­личина нам известна. Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем

Интеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл

Теперь сравним это с (18.53). Может быть, вы подумали, что <x|> равно p(x)? Нет, напрасно! Волновая функция <х|>=(x) может зависеть только от х, но не от р. В этом-то вся трудность.

К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) мо­жно проинтегрировать по частям. Производная e^-ipx/h по х равна (-i/h)pe^-ipx/h, поэтому интеграл (18.55) это все равно, что

Если это проинтегрировать по частям, оно превратится в

Пока речь идет только о связанных состояниях, (x) стремится к нулю при х±, скобка равна нулю и мы имеем

А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что

Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков:

Мы узнали, как выглядит (18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния |>, то ответ был таков:

То же самое в координатном мире записывается так:

Здесь — алгебраический оператор, который действует на функцию от х.

Когда мы задали вопрос о среднем значении х, то тоже обнаружили, что ответ имеет вид

В координатном мире соответствующие уравнения таковы:

Когда мы задали вопрос о среднем значении р, то ответ оказался

В координатном мире эквивалентные уравнения имели бы вид

Во всех наших трех примерах мы исходили из состояния |> и создавали новое (гипотетическое) состояние с помощью квантовомеханического оператора. В координатном представле­нии мы генерируем соответствующую волновую функцию, дей­ствуя на волновую функцию  (x) алгебраическим оператором. Можно говорить о взаимнооднозначном соответствии (для одно­мерных задач) между

В этом перечне мы ввели новый символ для алгебраического оператора (h/i)д/дx:

и поставили под значок х, чтобы напомнить, что имеем пока дело с одной только x-компонентой импульса.

Результат этот легко обобщается на три измерения. Для других компонент импульса

При желании можно даже говорить об операторе вектора импульса и писать

где е_х, е_y и е_z — единичные векторы в трех направлениях. Можно записать это и еще изящнее:

Окончательный вывод наш таков: по крайней мере для некоторых квантовомеханических операторов существуют соот­ветствующие им алгебраические операторы в координатном пред­ставлении. Все, что мы до сих пор вывели (с учетом трехмер­ности мира), подытожено в табл. 18.1. Каждый оператор может быть представлен в двух равноценных видах:

либо

либо

Теперь мы дадим несколько иллюстраций применения этих идей. Для начала выявим связь между.

Если применить дважды, получим

Это означает, что можно написать равенство

Или, в векторных обозначениях,

(Члены в алгебраическом операторе, над которыми нет символа оператора ^, означают простое умножение.) Это уравнение очень приятно, потому что его легко запомнить, если вы еще не забыли курса классической физики. Хорошо известно, что энергия (не­релятивистская) состоит из кинетической энергии р²/2m плюс потенциальная, а у нас — тоже оператор полной энергии. Этот результат произвел на некоторых деятелей столь силь­ное впечатление, что они начали стремиться во что бы то ни стало вбить студенту в голову всю классическую физику, прежде чем приступить к квантовой. (Мы думаем иначе!) Параллели очень часто обманчивы. Если у вас есть операторы, то важен порядок различных множителей, а в классическом уравнении он безраз­личен.

Таблица 18.1 • АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ В КООРДИ­НАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

В гл. 15 мы определили оператор р^_х через оператор смещения D^_x [см. формулу (15.27)]:

где  — малое смещение. Мы должны показать, что это экви­валентно нашему новому определению. В соответствии с тем, что мы только что доказали, это уравнение должно означать то же самое, что и

Но в правой части стоит просто разложение  (x+) в ряд Тэйлора, а  (x+)— то, что получится, если сместить состояние влево на б (или сдвинуть на столько же вправо систему коорди­нат). Оба наши определения р^ согласуются!

Воспользуемся этим, чтобы доказать еще кое-что. Пусть у нас в какой-то сложной системе имеется множество частиц, которым мы присвоим номера 1, 2, 3, ... . (Для простоты остано­вимся на одномерном случае.) Волновая функция, описывающая состояние, является функцией всех координат х_1: х₂, x₃,... . Запишем ее в виде  (x₁, х₂, х₃, ...). Сдвинем теперь систему (вле­во) на . Новая волновая функция

может быть записана так:

Согласно уравнению (18.65), оператор импульса состояния |> (назовем его полным импульсом) равняется

Но это все равно, что написать

Операторы импульса подчиняются тому правилу, что пол­ный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные вещи взаимно согласуются.