- •Лекция. Предельные теоремы
- •1. Принцип практической уверенности. Формулировка закона больших чисел
- •2. Неравенства Маркова и Чебышева
- •Выражения (2.1–2.2) справедливы для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •3. Сходимость по вероятности
- •4. Закон больших чисел в формАх Чебышева, Бернулли. Теорема Пуассона
- •4.1. Закон больших чисел в форме Чебышева
- •4.2. Закон больших чисел в форме Бернулли 4
- •4.3. Теорема Пуассона
- •5. Центральная предельная теорема
- •Практическое использование центральной предельной теоремы
- •Вопросы для самопроверки
- •Литература
- •Содержание
- •Новротская Надежда Леонидовна теория вероятностей Предельные теоремы
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
3. Сходимость по вероятности
Сходимость относительной частоты к вероятности р отличается от сходимости в смысле математического анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимость по вероятности».
Различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при n → ∞ к р как пределу в смысле математического анализа, то начиная с некоторого n = n0 и для всех последующих значений (n > n0) неуклонно выполняется неравенство < ε (ε > 0) (рис. 3.1), если же стремится по вероятности к р при n → ∞, то для отдельных значений из n > n0 неравенство может не выполняться (рис. 3.2). Коротко это можно записать так: р.
Рис. 3.1 Рис. 3.2
4. Закон больших чисел в формАх Чебышева, Бернулли. Теорема Пуассона
4.1. Закон больших чисел в форме Чебышева
Если явление устойчивости средних имеет место в действительности, то в математической модели, с помощью которой мы изучаем случайные явления, должна существовать отражающая этот факт теорема. В условиях этой теоремы введем ограничения на случайные величины X1, X2, …, Xn:
а) каждая случайная величина Хi имеет математическое ожидание
M(Хi) = a;
б) дисперсия каждой случайной величины конечна или, можно сказать, что дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом, например С, т. е.
D(Хi) < C, i = 1, 2, …, n;
в) случайные величины попарно независимы, т. е. любые две Xi и Xj при i j независимы.
Тогда, очевидно
D(X1 + X2 + … + Xn) D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn).
Сформулируем закон больших чисел в форме Чебышева.
Теорема Чебышева: при неограниченном увеличении числа n независимых испытаний «средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию», т. е. для любого положительного ε
Р(|– а| < ε) = 1. (4.1.1)
Смысл выражения «средняя арифметическая = сходится по вероятности к a» состоит в том, что вероятность того, что будет сколь угодно мало отличаться от a, неограниченно приближается к 1 с ростом числа n.
Доказательство. Для конечного числа n независимых испытаний применим неравенство Чебышева для случайной величины = :
Р(|– M()| < ε) ≥ 1 – . (4.1.2)
Учитывая ограничения а – в, вычислим M() и D():
M() = = = = = = а;
D() = = = = = = .
Подставляя M() и D() в неравенство (4.1.2), получим
Р(|– а| < ε) ≥ 1 – .
Если в неравенстве (4.1.2) взять сколь угодно малое ε > 0 и n , то получим
= 1,
что и доказывает теорему Чебышева.
Из рассмотренной теоремы вытекает важный практический вывод: неизвестное нам значение математического ожидания случайной величины мы вправе заменить средним арифметическим значением, полученным по достаточно большому числу опытов. При этом, чем больше опытов для вычисления, тем с большей вероятностью (надежностью) можно ожидать, что связанная с этой заменой ошибка (– а) не превзойдет заданную величину ε.
Кроме того, можно решать другие практические задачи. Например, по значениям вероятности (надежности) Р = Р(|– а| < ε) и максимальной допустимой ошибке ε определить необходимое число опытов n; по Р и п определить ε; по ε и п определить границу вероятности события |– а | < ε.
Частный случай. Пусть при n испытаниях наблюдаются n значений случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Полученные значения можно рассматривать как случайные величины Х1, Х2, Х3, ..., Хn,. Это следует понимать так: серия из п испытаний проводится неоднократно, поэтому в результате i-го испытания, i = l, 2, 3, ..., п, в каждой серии испытаний появится то или иное значение случайной величины X, не известное заранее. Следовательно, i-e значение xi случайной величины, полученное в i-м испытании, изменяется случайным образом, если переходить от одной серии испытаний к другой. Таким образом, каждое значение xi можно считать случайной величиной Xi .
Предположим, что испытания удовлетворяют следующим требованиям:
1. Испытания независимы. Это означает, что результаты Х1, Х2, Х3, ..., Хn испытаний – независимые случайные величины.
2. Испытания проводятся в одинаковых условиях – это означает, с точки зрения теории вероятностей, что каждая из случайных величин Х1, Х2, Х3, ..., Хn имеет такой же закон распределения, что и исходная величина X, поэтому M(Xi) = M(X) и D(Xi) = D(X), i = 1, 2, .... п.
Учитывая вышеуказанные условия, получим
Р(|– а| < ε) ≥ 1 – . (4.1.3)
Пример 4.1.1. Дисперсия случайной величины X равна 4. Сколько требуется произвести независимых опытов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифметическое значение этой случайной величины будет отличаться от математического ожидания менее чем на 0,5?
Решение. По условию задачи ε = 0,5; Р(|– а|< 0,5) ≥ 0,9. Применив формулу (4.1.3) для случайной величины Х, получим
P(|– M(X)| < ε) ≥ 1 – .
Из соотношения
1 – = 0,9
определим
= 0,1;
п = = = 160.
Ответ: требуется произвести 160 независимых опытов.
Если предположить, что средняя арифметическая распределена нормально, то получаем:
Р(|– а| < ε)= 2Φ() ≥ 0,9.
Откуда, воспользовавшись таблицей функции Лапласа, получим ≥ ≥ 1,645, или ≥ 6,58, т. е. n ≥ 49.
Пример 4.1.2. Дисперсия случайной величины Х равна D(Х) = 5. Произведено 100 независимых опытов, по которым вычислено . Вместо неизвестного значения математического ожидания а принята . Определить максимальную величину ошибки, допускаемую при этом с вероятностью не менее 0,8.
Решение. По условию задачи n = 100, Р(| – а| < ε) ≥ 0,8. Применим формулу (4.1.3)
Р(| – а| < ε) ≥ 1 – .
Из соотношения
1 – = 0,8
определим ε:
= 0,2;
ε2 = = = 0,25.
Следовательно, ε = 0,5.
Ответ: максимальная величина ошибки ε = 0,5.