МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Частный институт управления и предпринимательства
Н.Л. Новротская
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предельные теоремы
Учебно-методическое пособие
Минск 2007
УДК 519.2
ББК 22.1я73
Н 76
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства
Автор
старший преподаватель кафедры высшей математики и статистики Частного института управления и предпринимательства Н. Л. Новротская
Рецензенты:
доцент кафедры высшей математики и физики Военной академии Республики Беларусь кандидат физико-математических наук, доцент Т. А. Макаревич;
доцент кафедры высшей математики и физики Военной академии Республики Беларусь кандидат физико-математических наук, доцент Л. В. Михайловская
Рассмотрено и одобрено
на заседании кафедры высшей математики и статистики,
протокол № 8 от 22 марта 2007 г.
Новротская, Н. Л.
Н 76 Теория вероятностей. Предельные теоремы: учебно-метод. пособие / Н. Л. Новротская. – Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2007. – 29 с.
Пособие включает основные вопросы темы «Предельные теоремы»: сущность закона больших чисел, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли, центральную предельную теорему. Приведены основные формулы и примеры использования предельных теорем для решения задач.
Рекомендуется для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей Частного института управления и предпринимательства.
УДК 519.2
ББК 22.1я73
© Новротская Н. Л., 2007
©
Частный институт управления и
предпринимательства, 2007
Лекция. Предельные теоремы
1. Принцип практической уверенности. Формулировка закона больших чисел.
2. Неравенства Маркова и Чебышева.
3. Сходимость по вероятности.
4. Закон больших чисел в формах Чебышева, Бернулли. Теорема Пуассона.
4.1. Закон больших чисел в форме Чебышева.
4.2. Закон больших чисел в форме Бернулли.
4.3. Теорема Пуассона.
5. Центральная предельная теорема.
Ключевые слова:
|
принцип практической уверенности; |
закон больших чисел в форме Чебышева; |
|
устойчивость среднего; |
закон больших чисел в форме Бернулли; |
|
сходимость по вероятности; |
нормированная сумма; |
|
скорость сходимости; |
равномерная малость |
1. Принцип практической уверенности. Формулировка закона больших чисел
Принцип практической уверенности иногда в литературе называют «принципом практической невозможности маловероятных событий». Известно, что если событие имеет очень малую вероятность, то в единичном испытании это событие может наступить или не наступить. Но так рассуждаем мы только теоретически, а на практике считаем, что событие, имеющее малую вероятность, не наступает, и поэтому мы, не задумываясь, пренебрегаем им.
Но нельзя дать ответ в рамках математической теории на вопрос, какой должна быть верхняя граница вероятности, чтобы можно было назвать «практически невозможными» события, вероятности которых не будут превышать найденной верхней границы.
Пример. Рабочий изготавливает на станке 100 изделий, из которых одно в среднем оказывается бракованным. Вероятность брака равна 0,01, но ею можно пренебречь и считать рабочего неплохим специалистом. Но если строители будут строить дома так, что из 100 домов (в среднем) в одном доме может быть разрушение крыши, то вряд ли можно пренебречь вероятностью такого события.
Итак, в каждом отдельном случае мы должны исходить из того, насколько важны последствия в результате наступления события. При «практически достоверных» событиях, вероятность которых близка к единице, также встает вопрос о степени этой близости. Вероятность, которой можно пренебречь в исследовании, называется уровнем значимости.
Принцип практической уверенности: «Если какое-нибудь событие имеет малую вероятность (например, р < 0,01), то при единичном испытании можно практически считать, что это событие не произойдет, а если событие имеет вероятность, близкую к единице (р > 0,99), то при единичном испытании практически можно считать, что событие произойдет наверняка».
Таким образом, исследователя всегда должен интересовать вопрос, в каком случае можно гарантировать, что вероятность события будет как угодно близка к 0 или как угодно близка к 1.
Основной закономерностью случайных массовых явлений является свойство устойчивости средних результатов.
В широком смысле слова под «законом больших чисел» понимают свойство устойчивости случайных массовых явлений. Это свойство состоит в том, что средний результат действия большого числа случайных явлений практически перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью. Оно вытекает из того, что индивидуальные особенности отдельных случайных явлений, их отклонения от среднего результата в массе своей взаимно погашаются, выравниваются.
В узком смысле слова под «законом больших чисел» понимают совокупность теорем, в которых устанавливается факт приближения средних характеристик к некоторым постоянным величинам в результате большого числа наблюдений.
Различные формы закона больших чисел дают возможность уверенно оперировать со случайными величинами, осуществлять научные прогнозы случайных явлений и оценивать точность этих прогнозов.
Разные теоремы закона больших чисел отличаются исходными вероятностными моделями и различными формами статистической устойчивости. Исторически первой формой закона больших чисел была теорема Я. Бернулли1 об устойчивости относительной частоты в модели повторных независимых испытаний. Затем она была обобщена А. Я. Хинчиным (1894–1959 гг.) на случай испытаний с изменяющейся вероятностью рi, где i – номер испытания. Значительно более общие формы закона больших чисел были доказаны П. Л. Чебышевым (1821–1894 гг.), А. А. Марковым (1856–1922 гг.), A. M. Ляпуновым (1857–1918 гг.) и др.