Практическое использование центральной предельной теоремы

Оно основано на том, что законы распределения каждой из составляющих сумму случайных величин нам неизвестны и более того, даже перечислить эти величины мы не в состоянии (), а поведение суммы оказывается можно предвидеть.

Решение вопроса, при каких значениях n рекомендуется использовать нормальное приближение, зависит от требуемой точности вычисления вероятностей.

Сделаем три замечания о центральной предельной теореме, важные для практики:

Замечание 1. Если предельный вид распределения суммы случайных слагаемых при определенных условиях всегда нормален и не зависит от вида распределения самих слагаемых, то скорость сходимости распределения суммы к нормальному закону существенно зависит от типа распределения исходных компонент. Так, например, при суммировании равномерно распределенных случайных величин уже при 6-10 слагаемых можно добиться достаточной близости к нормальному закону, в то же время как для достижения той же близости при суммировании слагаемых, имеющих распределенный Хи-квадрат, понадобится более 100 слагаемых.

Замечание 2. Центральной предельной теоремой не рекомендуется пользоваться для аппроксимации вероятностей на “хвостах” распределения, т. е. при оценке вероятностей больших отклонений анализируемой суммы случайных величин от своего среднего значения. Это приводит к большим относительным ошибкам аппроксимации. Так, например, пусть (n) – нормированный среднедушевой доход в семье (соответственно – заработная плата работающих членов семьи и другие составляющие семейного дохода) и пусть нас интересует доля q семей с очень высоким доходом, а именно с доходом, не меньшим некоторого достаточного высокого уровня (руб.). Исследования показали, что точное значение этой доли q= 0,03, в то время как соответствующая нормальная аппроксимация дала результат =0,003. Разность q – мала (как и следует из центральной предельной теоремы), однако относительная погрешность составляет величину 1000%.

Особенно важным это предостережение оказывается при попытке использования нормальных аппроксимаций в задачах расчета зависимостей типа «пропускная способность» (или предельная прочность) системы – вероятность отказа в обслуживании (разрушении).

Замечание 3. Центральная предельная теорема позволяет проследить асимптотические связи, существующие между различными модельными законами распределения, с одной стороны, и нормальным законом – с другой (рис. 5.2).

Опираясь на центральную предельную теорему, можно объяснить, в частности, следующие полезные для статистической практики выводы:

1. Биномиально распределенная случайная величина X с параметрами n, p асимптотически (при ) нормальна с параметрами M(X)  np и D(X)  np(1 – p)  npq. Данный результат известен как теорема Муавра–Лапласа (доказана впервые Муавром в 1733 г., когда еще не была известна центральная предельная теорема).

2. Распределение –пуассоновской случайной величины X() асимптотически (при ) нормально с параметрами M(X)  D(X)  .

3. Другие распределения и их связи с нормальным распределением приведены на схеме (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Схема зависимостей между некоторыми распределениями;

а^*– функциональное преобразование

Рассмотрим некоторые примеры практического использования центральной предельной теоремы:

1. Ошибки измерения. Случайная ошибка измерения образуется под воздействием достаточно большого числа факторов, каждый из которых вызывает как бы часть (слагаемое) суммарной ошибки. Если при этом какой-то фактор оказывает преобладающее воздействие, то и распределение суммарной ошибки будет в основном формироваться его распределением. Однако если все факторы оказываются примерно равноценными, то при достаточно большом их числе можно ожидать почти нормального распределения суммарной ошибки измерения.

2. Рассеивание при стрельбе. Известно, что при стрельбе происходит отклонение от цели точки попадания снаряда. Причиной такого отклонения является суммарное воздействие на снаряд множества факторов, например, ветра, колебания ствола орудия, неоднообразия формы и поверхности снаряда и др. В предположении относительной равноценности воздействия этих факторов и достаточно большого их числа можно ожидать почти нормального распределения суммарного отклонения.

3. Массовое производство. Пусть имеет место устойчивый технологический процесс, с помощью которого производятся некоторые изделия. Будем рассматривать в качестве случайной величины X – отклонение изготовленного изделия от стандарта, на который настроен процесс. Существует большое количество факторов, оказывающих влияние на процесс (изменение температуры, качество заготовок и т. д.). Совокупное же их действие дает уже заметный результат: изготовленные изделия имеют различные отклонения от стандарта. Из центральной предельной теоремы следует, что случайная величина X будет иметь распределение, близкое к нормальному распределению.

4. Выборочные наблюдения. Закон больших чисел и центральная предельная теорема являются теоретической основой выборочного метода, широко применяемого в статистике. Суть его состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов (ее называют генеральной совокупностью). Выборочным аналогом вероятности при большом числе наблюдений является относительная частота. Выборочное среднее арифметическое n одинаково распределенных случайных величин в случае повторной выборки удовлетворяет условиям центральной предельной теоремы и поэтому может рассматриваться как асимптотически нормально распределенная случайная величина.

Пример 5.1. На распределительную базу поступило 100 одинаковых ящиков с радиолампами. M(X) числа радиоламп в каждом ящике, которые пришли в негодность за время транспортировки, равно 3, стандартное отклонение (X)  2. Определить границы, в которых с вероятностью не менее 0,8 будет заключено общее число радиоламп, пришедших в негодность за время транспортировки.