4.2. Закон больших чисел в форме Бернулли 4

Хотя в основе любого статистического вывода лежит понятие вероятности, мы лишь в немногих случаях можем определить вероятность события непосредственно. Иногда эту вероятность можно установить из соображений симметрии, равной возможности и т.п., но универсального метода, который позволял бы для произвольного события указать его вероятность, не существует. Теорема Бернулли дает возможность приближенной оценки вероятности, если для интересующего нас события А можно проводить повторные независимые испытания. Пусть произведено п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равна р.

Теорема Бернулли. При неограниченном возрастании числа независимых испытаний п относительная частота появления события А сходится по вероятности к вероятности p появления события А, т. е.

P(  p ≤ ε) = 1, (4.2.1)

где ε – сколь угодно малое положительное число.

Для конечного n при условии, что , неравенство Чебышева для случайной величины будет иметь вид:

P(| – p| < ε) ≥ 1 – . (4.2.2)

Доказательство. Применим теорему Чебышева. Пусть X_i – число появлений события А в i-ом испытании, i  1, 2, . . . , n . Каждая из величин X_i может принять лишь два значения:

X_i  1 ( событие А наступило ) с вероятностью p,

X_i  0 ( событие А не наступило ) с вероятностью q  1– p .

Пусть Y_n  . Сумма X₁ + X₂ + … + X_n равна числу m появлений события А в n испытаниях ( 0 m n ), а, значит, Y_n  – относительная частота появления события А в n испытаниях. Математическое ожидание и дисперсия X_i равны соответственно:

M()  1∙p + 0∙q = p,

D()  M() – M()² = 1²∙p + 0²∙q – p² = p – p² = = p(1 – p) = pq.

Тогда

M(Y_n)   p; D(Y_n)   0.

Следовательно, выполняются условия теоремы Чебышева, т. е. P(  p ≤ ε) = 1, что и требовалось доказать.

Из теоремы Бернулли следует, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота появления события практически утрачивает свой случайный характер, приближаясь к постоянной величине p – вероятности данного события. В этом и состоит принцип практической уверенности.

Пример 4.2.1. С целью установления доли брака продукции было проверено по схеме возвратной выборки 1000 единиц. Какова вероятность того, что установленная этой выборкой доля брака по абсолютной величине будет отличаться от доли брака по всей партии не более чем на 0,01, если известно, что в среднем на каждые 10000 изделий приходится 500 бракованных?

Решение. По условию задачи число независимых испытаний n = 1000;

p = = 0,05; q = 1 – p = 0,95; ε = 0,01.

Применяя формулу (4.2.2), получим

P(|– p| < 0,01) ≥ 1 – = 1 – = 0,527.

Ответ: с вероятностью не менее 0,527 можно ожидать, что выборочная доля брака (относительная частота появления брака) будет отличаться от доли брака во всей продукции (от вероятности брака) не более чем на 0,01.

Пример 4.2.2. При штамповке деталей вероятность брака составляет 0,05. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было ожидать, что относительная частота бракованных изделий будет отличаться от вероятности брака менее чем на 0,01?

Решение. По условию задачи р = 0,05; q = 0,95; ε = 0,01;

P(|– p| < 0,01) ≥ 0,95.

Из равенства 1 – = 0,95 находим n:

= 0,05;

n = = = 9500.

Ответ: необходимо проверить 9500 деталей.

Замечание. Оценки необходимого числа наблюдений, получаемые при применении теоремы Бернулли (или Чебышева), очень преувеличены. Существуют более точные оценки, предложенные Бернштейном⁵ и Хинчиным⁶, но требующие более сложного математического аппарата. Чтобы избежать преувеличения оценок, иногда пользуются формулой Лапласа

P(| – p| < ε) ≈ 2Φ.

Недостатком этой формулы является отсутствие оценки допускаемой погрешности.