-
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция
непрерывна на конечном промежутке
,
но не ограничена на этом промежутке.
Определение.
Несобственным
интегралом
от функции у=f(x)
на промежутке
называется предел
,
т.е.
.
(15)
Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.
Аналогично вводится
понятие несобственного интеграла от
функции
непрерывной, но не ограниченной на
промежутке
:
.
(16)
Если функция
не ограничена при
,
где
,
и непрерывна при
и
,
то несобственный интеграл от функции
у=f(x)
на отрезке
обозначается
и определяется равенством
.
(17)
Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17). В противном случае данный интеграл называется расходящимся.
Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
Решение:
а) данный интеграл является интегралом
от неограниченной функции (подынтегральная
функция
не определена в точке
,
при
эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем
[замена:
]
=
,
следовательно, данный интеграл сходится.
б) по определению
.
Значит, данный интеграл является расходящимся.
Задачи и упражнения Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
a)
и осью Ox;
б)
;
в)
и
;
г)
и
;
д)
и
;
е)
и
;
ж)
и
;
з)
и
;
и)
;
к)
и
;
л)
и
;
м)
.
2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а)
где
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
4.
а) вычислить длину дуги кривой
,
заключенной между точками, для которых
.
б) вычислить длину
дуги кривой
,
заключенной между точками, для которых
.
5. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
Литература
1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.
2. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
3. Гусак А. А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
5. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.