3.10 Модифікований двокроковий метод найменших квадратів (мдмнк)

Розглянутий у [1] двокроковий метод найменших квадратів, побудований за аналогією рекурсивної системи регресії, має той недолік, що передвизначені величини отримуються з прогнозної форми, відхилення яких є перетвореними відносно до відхилень у структурній формі системи регресій. Розглянемо модифікований двокроковий метод найменших квадратів, алгоритм якого складається з двох кроків: 1-й крок полягає в оцінюванні параметрів МНК матриці наведеної системи регресій; 2-й крок полягає в оцінці МНК параметрів при ендогенних величинах системи регресій у наведеній формі з величинами, які являють собою відхилення ендогенних величин відносно розрахункових значень цих величин, отриманих на першому кроці. На основі оцінених параметрів двох матриць знаходяться параметри (елементи) третьої матриці.

Оцінювання параметрів системи двох регресій модифікованим

двокроковим методом найменших квдаратів

Розглянемо систему двох взаємозалежних систем регресій:

Ця система регресій не ідентифікована, тому для оцінювання параметрів не можна використовувати непрямий метод найменших квадратів. Якщо , то для оцінювання параметрів перетворимо структурну систему регресій до прогнозної форми і знайдемо оцінки параметрів МНК.

Проблема визначення оцінок параметрів структурної форми полягає в переході від прогнозної форми до структурної.

Простежимо перехід від структурної до прогнозної форми. Для цього запишемо систему регресій у вигляді симплекс-таблиці:

			1
	-1					(3.18)
		-1

Позначимо матриці

Оскільки , то після двох кроків ЗЖВ з розв’язувальними діагональними елементами матриці отримаємо таку симплекс-таблицю:

			1
						(3.19)

Якщо якимось чином знайти оцінки матриці , то зробивши перехід від симплекс-таблиці (3.19) до симплекс-таблиці (3.18), знайдемо оцінки системи регресій структурної форми.

Перший крок МДМНК

Оцінки параметрів прогнозної форми системи регресій

знаходяться МНК для кожної із регресії окремо. Якщо ендогенні величини стохастично залежать від одних і тих самих екзогеннних величин, для оцінювання параметрів прогнозної форми системи регресій можемо скласти сумісну симплекс-таблицю нормальних рівнянь

10
					0	1
	00=
к	00=
	00=

Якщо , то після трьох кроків ЗЖВ отримаємо оцінки параметрів матриці .

Другий крок МДМНК

Враховуючи , що , де

симплекс-таблицю (4.19) можна записати в такому вигляді:

(3.20)Ця таблиця відображає задежність відхилень у прогнозній формі від відхилень у структурній формі систем регресій. Матриця обернена до матриці : .

Тому можна перетворити симплекс-таблицю (3.20) на симплекс-таблицю

	-1	-1

Цю симплекс-таблицю можна записати у вигляді системи регресій, в якій відсутні екзогенні величини, та оцінка параметрів, що характеризують взаємний вплив ендогенних величин, звелась до оцінок параметрів між їх відхиленнями:

(3.21)

Таким чином, проблема оцінювання параметрів неідентифікованої структурної системи регресій звелась до оцінювання параметрів системи регресій між відхиленнями ендогенних величин, отриманих із залежностей відхилень у прогнозній і структурній формах систем регресій.

До системи регресій (3.21) застосуємо МНК. Для цього складемо функціонали

З необхідної умови екстремуму першого функціонала отримаємо нормальне рівняння для оцінки параметра :

Аналогічним чином знайдемо оцінку параметрів :

Після двох кроків МНК знайдено оцінки параметрів матриці і матриці , необхідно знайти оцінки параметрів (елементів) матриці .

Для визначення оцінок матриці знаходимо матрицю, обернену до матриці , і складаємо симплекс-таблицю (3.19).

Оскільки , то проробимо два кроки ЗЖВ з розв’язувальними елементами (3.19), які належать головній діагоналі матриці , та отримаємо симплекс-таблицю (3.18), тобто знайдемо оцінки параметрів матриці .