3.5. Нмнк у матричній формі для системи двох регресій

Запишемо систему одночасних рівнянь у матричній формі.

Якщо ввести такі позначення:

- матриця параметрів при ендогенних величинах,

- матриця параметрів при екзогенних величинах структурної форми системи регресій,

- вектор-стовпець ендогенних величин,

- вектор-стовпець екзогенних величин,

- вектор-стовпець відхилень,

то систему одночасних регресій у структурній формі можна записати в матричній формі

(3.5)

Для переходу від структурної форми до прогнозної помножимо зліва рівняння в матричній формі (3.5.) на матрицю, обернену до матриці :

Якщо позначити матрицю через матрицю , то отримаємо таку прогнозну систему регресії в матричному вигляді:

, де

Після оцінки параметрів матриці прогнозної форми методом найменших квадратів з матричного рівняння

знаходимо оцінки параметрів матриць та .

Оскільки матриця , то матричне рівняння матиме вигляд

.

Розписавши добуток матриць, отримаємо шість рівнянь:

(3.6)

Ця система рівнянь еквівалентна системі рівнянь (3.3), а тому має той самий розв’язок (3.4)

3.6. Нмнк для системи двох регресій з центрованими величинами

Ураховуючи той факт, що середні величини задовольняють регресію

(3.7)

отримаємо регресію для центрованих величин. Для цього від рівняння регресії (1.1) віднімемо (1.7) і т.д.

Система регресій для центрованих величин набуде вигляду

(3.8)

Ця система одночасних регресій пов’язує центровані величини

та у ній відсутні вільні змінні.

Використовуючи ЗЖВ, перейдемо від структурної форми до прогнозної форми системи регресій. Симплекс-таблиця системи регресій має вигляд

О1=	-1			0	1	0
О2=		-1	0		0	1

Після двох кроків ЗЖВ отримаємо таку симплекс-таблицю системи двох регресій у прогнозній формі:

Таким чином, прогнозна форма системи регресій буде мати чотири параметри:

(3.9)

Якщо статистичні дані розглядаються за к періодів, то суміщена симплекс-таблиця системи нормальних рівнянь матиме вигляд:

			1 0	0 1
0=
0=

Якщо ввести такі позначення

і , то після двох кроків ЗЖВ отримаємо оцінки параметрів матриці :

Після цього з рівності параметрів прогнозної форми системи регресій отримаємо систему чотирьох рівнянь:

(3.10)

Розв’язавши систему рівнянь, знайдемо:

(3.11)

Формули оцінок параметрів структурної системи регресій, виражені через оцінки параметрів прогнозної форми регресій для центрованих і нецентрованих величин, співпадають (3.4), (3.11).

Відрізняються вони тільки тим, що в регресії з центрованими екзогенними та ендогенними величинами відсутні вільні члени як у структурній, так і в прогнозній формах.

Для оцінювання значення прогнозу ендогенних величин за заданими екзогенними величинами центруємо значення ендогенних величин і підставляємо в прогнозну форму регресії з центрованими величинами. Після визначення центрованих прогнозних значень ендогенних величин до них додаємо середні значення цих величин. Або записуємо прогнозну форму з урахуванням центрованих величин:

і перетворюємо, розкривши дужки:

де

Аналогічним чином можна перетворити структурну центровану систему регресій на структурну систему регресій:

де