- •Міністерство освіти і науки україни кременчуцький державний політехнічний університет
- •2 Парний регресійний аналіз
- •2.1 Метод найменших квадратів
- •2.2. Коефіцієнт кореляції
- •2.3 Стандартизоване рівняння регресії.
- •2.4 Перевірка гіпотези про значущість відмінності від нуля коефіцієнта кореляції
- •2.5 Коефіцієнт детермінації, індекс кореляції
- •2.6 Матричний запис нормальної системи рівнянь і її розв’язок у матричному вигляді
- •2.7 Дослідження рівнянь регресії
- •2.8 Властивості оцінок (оцінок коефіцієнтів рівняння регресії)
- •2.10 Коефіцієнт еластичності
- •2.9 Прогноз і його надійні інтервали
- •2.10 Нелінійна парна регресія
- •3 Завдання. Парна регресія
- •3.1 Побудова моделі залежності собівартісті автомобіля газ-3110-311 ,у, від обсягу виробництва,х
- •3.2 Побудова моделі залежності прибутку, у, від обсягу товарної продукціі, х
- •4 Методичні вказівки для відшукання основних теоретичних положень, необхідних для виконання лабораторних робіт
- •Б) література:
- •Контрольні питання
- •5 Виконання лабораторних робіт виРішення Завдання 5.1
- •Висновки
- •ВиРішення Завдання 5.2
- •Побудування моделі залежності прибутку від обсягу товарної продукції, її аналіз та прогнозування за моделлю
- •Висновки
- •6 Додатки
- •6.3 Список убудованих функцій ms excel, використовуваних у розрахунках економетричних моделей
- •Список літератури
2.6 Матричний запис нормальної системи рівнянь і її розв’язок у матричному вигляді
Запишемо статистичні дані в матричній формі у вигляді:
Позначимо
Тоді
Нормальна система рівнянь має вигляд
(2.27)
Тоді матричний запис нормальної системи рівнянь
(2.28)
Оскільки
, то - існує.
Тоді система (2.28) має рішення і
2.7 Дослідження рівнянь регресії
Нехай для лінійної моделі
1) li – випадково розподілена величина, має нормальний закон розподілу з параметрами M(li)=0, D(li)=;
2) М (li; lj) 0, якщо i j;
3) M(yi)=аXi+b, D(yi)= , Xi – невипадкові величини, ,
Стандартне відхилення коефіцієнта регресії а і його інтервал надійності.
(2.29)
Оскільки
то
(2.30)
(2.31)
(2.32)
Тоді довірчий інтервал для істинного
, (2.33)
де
(2.34)
- табличне значення розподілу Стьюдента для α=1-Р, k=n-2
Аналогічно знайдено довірчий інтервал для істинного значення а
, (2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Довірчий інтервал для істинного значення в
(2.40)
де
(2.41)
Sy (2.42)
2.8 Властивості оцінок (оцінок коефіцієнтів рівняння регресії)
Оцінка параметра а називається незміщеною, якщо .
Аналогічно для оцінки параметра
Оцінки , знайдені по методу найменших квадратів (МНК).
Можна шукати оцінки , іншими методами [2].
Оцінка параметра називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед всіх оцінок.
Теорема Гаусса-Маркова
Нехай виконуються гіпотези:
1. .
2. Xi – невипадкові величини;
3. М(li)=0, li – випадкові величини,
D(li)=2
4. М(li lj)=0, якщо i j, тобто помилки некорельовані
li розподілені за нормальним законом з параметрами (0; 2)
Тоді , , одержані по МНК, є ефективними в класі всіх лінійних незміщених оцінок.
Можна показати, що , одержані за МНК, є спроможними.
Оцінка параметра є спроможною, якщо Е) 1
∆а Е, Е 0.
2.10 Коефіцієнт еластичності
В економічних задачах для оцінки впливу на показник будь-якого фактора часто використовують коефіцієнт еластичності. У загальній статистиці коефіцієнт еластичності одержують на основі статистичного ряду. Припустимо, що маємо статистичний ряд з балансовими даними показника і фактора. Коефіцієнт еластичності для значення фактора знаходять за формулою:
(2.44)
де,
Якщо між факторами і показниками знайдена стохастична залежність, то коефіцієнт еластичності для значення фактора аналогічно можна знайти за формулою:
(2.45)
Якщо зробити граничний перехід при , то одержимо формулу для точкової оцінки коефіцієнта еластичності:
(2.46)
Коефіцієнт еластичності показує на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на один відсоток. Для парної лінійної регресії Y=aX+b коефіцієнт еластичності знаходиться за формулою:
(2.47)