3. Исследование произвольных линейных систем уравнений

В предыдущем параграфе мы рассмотрели системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений, det(A),и системы имели единственное решение. Пусть теперь система имеет произвольный вид (2.1), где m. Главный вопрос для этой системы – вопрос о ее совместности, то есть о существовании хотя бы одного решения. По этому поводу имеется теорема Кронекера- Капелли.

Теорема. Для того, чтобы система линейных уравнений (2.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы были равны.

Необходимость. Пусть система совместная, то есть существует решение

Расширенная матрица системы

.

В матрице С из последнего столбца вычтем первый, умноженный на второй, умноженный на столбец, умноженный на

Получим матрицу .

Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы и если ранг исходной матрицы r(C)=r, то ранг r ( тоже равен r.

Достаточность. Пусть ранг системы r (A) равен рангу расширенной матрицы r (C), r (A)=r (C)=r. По определению ранга матрицы существует минор порядка r, отличный от нуля. Пусть для определенности минор имеет вид ≠0.

Систему уравнений (2.1) перепишем в виде

(2.3.1)

Остальные уравнения системы (2.1) являются линейными комбинациями этих первых уравнений. Неизвестные могут принимать различные значения, их называют свободными. При каждом фиксированном значении свободных неизвестных можно вычислить соответствующие неизвестные которые называются базисными или основными. Тем самым система имеет бесчисленное множество решений и, следовательно, совместна. Если решая (2.3.1), выразить все основные неизвестные через свободные, то получим общее решение. На практике исследование системы на совместность проводится с помощью метода Гаусса.

Пример. Исследовать на совместность систему, написать общее решение.

.

Решение.

Составим расширенную матрицу системы:

. Первую строку, умноженную на 2, вычтем из второй, умноженную на 3 вычтем из третьей.

. В матрице вторую строку вычтем из третьей, получим:

. Из матрицы следует, что ранг матрицы системы и расширенной матрицы одинаков и равен 2 , так как минор а все миноры третьего порядка равны нулю. Матрица определяет систему

Таким образом, имеем множество решений данной системы

- общее решение. Система совместна. Здесь свободные, им можно придавать различные значения и в зависимости от этого получать значения базисных неизвестных х₁, х₂.

Пример. Исследовать систему на совместность

.

Решение.

Расширенная матрица системы имеет следующий вид:

.Переставим третью строку на место первой строки.

.Первую строку, умноженную на 3, вычтем из второй строки; умноженную на 2, вычтем из третьей; умноженную на 4, вычтем из четвертой строки..

. Вторую строку вычтем из третьей и четвертой строк и затем переставим местами третью и четвертую строки.

. Из матрицы следует, что ранг матрицы системы (без учета столбца свободных членов) равен 2, а ранг расширенной матрицы равен 3 . Поэтому система несовместна.

Упражнения для самостоятельного решения.

1. Решить системы по формулам Крамера:

. Ответ: х₁=0, х₂=1, х₃=1.

. Ответ: х₁=3, х₂=1, х₃=1.

Ответ: х₁=-1, х₂=2, х₃=0.

2. Решить систему методом Гаусса:

Ответ: х₁=1, х₂=1, х₃=2,х₄=1.

3. Исследовать на совместность, найти общее решение:

Ответ: Система несовместна.

Ответ: х₁=1+х₅, х₂=1+х₃+х₄-2х₅.