- •Оглавление
- •Матрицы
- •Решение систем линейных уравнений
- •Векторные пространства
- •Квадратичные формы
- •1. Матрицы
- •Основные понятия и операции над матрицами
- •1.2. Определитель квадратной матрицы
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение простейших матричных уравнений
- •1.5. Ранг матрицы
- •Упражнения для самостоятельного решения
- •2.Решение систем линейных уравнений
- •Формулы Крамера
- •Метод Гаусса
- •Исследование произвольных линейных систем уравнений
- •3. Векторные пространства
- •3.1. Линейные векторные пространства
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Упражнения для самостоятельного решения
- •Размерность и базис пространства векторов
- •Ранг системы векторов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.5. Пространство решений однородной системы уравнений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
- •Переход к новому базису
- •3.8. Евклидово пространство
- •Линейные преобразования и линейные операторы
- •Матрица линейного преобразования
- •Изменение матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Ортогональные и симметрические матрицы линейных преобразований
- •Квадратичные формы
- •Матрица квадратичной формы
- •Канонический вид квадратичной формы
- •Индивидуальные задания для студентов по теме « Линейная алгебра».
- •1. Вычислить, используя свойства определителя.
- •3. Выбрать пары матриц, которые можно перемножить, и выполнить умножение.
- •4. Решить матричное уравнение.
- •5.Найти ранг матрицы
- •7. Исследовать систему на совместность, написать множество решений.
- •8. Проверить, образуют ли векторы е1, е2, е3 ортогональный базис, и найти разложение вектора х по этому базису.
- •9. Определить, является ли система векторов линейно зависимой.
- •10. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений
- •11. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Литература
5.Найти ранг матрицы
Вар. |
Матрица |
Вар. |
Матрица |
1 |
2 |
||
3 |
4 |
||
5 |
6 |
||
7 |
8 |
||
9 |
10 |
||
11 |
12 |
||
13 |
14 |
||
15 |
16 |
||
17 |
18 |
||
19 |
20 |
||
21 |
22 |
||
23 |
24 |
||
25 |
26 |
||
27 |
28 |
||
29 |
30 |
6. Найти решение системы уравнений методом Гаусса.
Вар |
Система |
Вар |
Система |
1 |
2 |
||
3 |
4 |
||
5 |
6 |
||
7 |
8 |
||
9 |
10 |
||
11 |
12 |
||
13 |
14 |
||
15 |
16 |
||
17 |
18 |
||
19 |
20 |
||
21 |
22 |
||
23 |
24 |
||
25 |
26 |
||
27 |
28 |
||
29 |
30 |
7. Исследовать систему на совместность, написать множество решений.
Вар. |
Система |
Вар. |
Система |
1 |
2 |
||
3 |
4 |
||
5 |
6 |
||
7 |
8 |
||
9 |
10 |
||
11 |
12 |
||
13 |
14 |
||
15 |
16 |
||
17 |
18 |
||
19 |
20 |
||
21 |
22 |
||
23 |
24 |
||
25 |
26 |
||
27 |
28 |
||
29 |
30 |
8. Проверить, образуют ли векторы е1, е2, е3 ортогональный базис, и найти разложение вектора х по этому базису.
Вар |
Векторы |
Вар |
Векторы |
1 |
е1=(1, 1, 0), е2=(3, -3, 4), е3=(-2, 2, 3), Х=(1, 2, 3). |
2 |
е1=(1, -1, 1), е2=(3, 3, 0), е3=(1, -1, -2), Х=(-1, -2, -3). |
3 |
е1=(2, 1, -2), е2=(-1, 4, 1), е3=(1, 0, 1), Х=(1, 2, 3). |
4 |
е1=(1, -2, 0), е2=(0, 0, 4), е3=(2, 1, 0), Х=(-1, -2, 0). |
5 |
е1=(2, 3, 5), е2=(2, -3, 1), е3=(-9, -4, 6), Х=(1, 2, 3). |
6 |
е1=(1, 4, 3), е2=(2, 1, 5), е3=(3, 4, 2), Х=(6, 9, 10). |
7 |
е1=(3, 1, 2), е2=(4, 5, 3), е3=(2, 2, 4), Х=(1, 2, 3). |
8 |
е1=(1, 3, 2), е2=(1, 1, 1), е3=(2, 5, 2), Х=(2, 14, 5). |
9 |
е1=(1, 2, 4), е2=(1, -1, 1), е3=(1, 1, 4), Х=(1, -5, -2). |
10 |
е1=(1, 2, 4), е2=(3, 6, 8), е3=(2, 1, -1), Х=(4, 2, 2). |
11 |
е1=(2, 3, 4), е2=(4, 6, -1), е3=(1, 2, -3), Х=(4, 4, 1). |
12 |
е1=(2, 3, 4), е2=(4, 6, -1), е3=(1, 2, -3), Х=(4, 4, 1). |
13 |
е1=(-1, 2, -3), е2=(2, -1, 2), е3=(-1, 2, -2), Х=(4, 1, 4). |
14 |
е1=(2, -2, 1), е2=(-1, 3, 1), е3=(4, -1, -2), Х=(-1, 11, 7). |
15 |
е1=(-3, 2, 1), е2=(3, -2, 1), е3=(-3, 2, -1), Х=(-6, 12, -4). |
16 |
е1=(-2, 1, 0), е2=(2, -2, 3), е3=(1, 4, 2), Х=(13, 4, 15). |
17 |
е1=(-1, 2, -3), е2=(2, -1, 2), е3=(3, 4, -2), Х=(4, 1, 4). |
18 |
е1=(2, -2, 1), е2=(-1, 3, 1), е3=(4, -1, -2), Х=(-1, 11, 7). |
19 |
е1=(-1, 1, 3), е2=(-1, 2, 4), е3=(-1, 4, -1), Х=(-8, 14, 9). |
20 |
е1=(1, 3, 4), е2=(-2, 2, -3), е3=(3, -1, 2), Х=(2, -6, -7). |
21 |
е1=(1, 1, -2), е2=(3, -1, 1), е3=(1, -1, 2), Х=(9, 1, -5). |
22 |
е1=(0, -2, 1), е2=(2, -2, -1), е3=(-2, 3, 2), Х=(-4, -23, 1). |
23 |
е1=(3, 2, -1), е2=(1, -1, 1), е3=(2, 4, 1), Х=(-4, -3, 1). |
24 |
е1=(4, -2, 0), е2=(-1, 2, -2), е3=(2, 3, 1), Х=(10, 14, 0). |
25 |
е1=(3, -2, -1), е2=(4, 2, 1), е3=(1, -1, 3), Х=(9, 4, -5). |
26 |
е1=(2, 0, -3), е2=(5, -1, 2), е3=(1, -1, 2), Х=(-1, 3, -9). |
27 |
Е1=(-6, -3, -2), е2=(5, -1, 2), е3=(1, 2, -1), Х=(-8, -1, 3). |
28 |
е1=(2, 1, 1), е2=(-2, 3, 2), е3=(1, 1, -2), Х=(14, 0, 7). |
29 |
е1=(1, 1,-2), е2=(3, -1, 1), е3=(1, -1, 2), Х=(9, 1, -5). |
30 |
е1=(1, 3, 4), е2=(-2, 2, -3), е3=( 3, -1, 2), Х=(2, -6, -7). |