- •031401.65 Культурология
- •Часть 1. Элементы теории множеств 10
- •Часть 2. Теория вероятностей 27
- •1.1. Предыстория
- •1. 2. Основные понятия и способы задания множеств
- •1.3. Операции над множествами
- •2. 1. Предмет теории вероятностей
- •2. 2. Основные понятия и определения
- •2. 3. Статистический анализ результатов экспериментов
- •2.4. Множество событий и операции на нем
- •2. 5. Эмпирическая вероятность
- •2.6. Классическая вероятность
- •2. Для несовместных событий вероятность их суммы равна сумме
- •2. 7. Схемы случайных экспериментов
- •2.7.1. Схема без возвращения с упорядочением
- •2. 7.2. Схема без возвращения и без упорядочения
- •2. 7.3. Схема с возвращением и с упорядочением
- •2.7.4. Схема с возвращением без упорядочения
- •2. 8. Геометрическая вероятность
- •2. 9. Условная вероятность
- •2.10. Формула полной вероятности
- •2.11. Формула Байеса
2. Для несовместных событий вероятность их суммы равна сумме
их вероятностей
Р(А+В)= = = + = Р(А)+Р(В).
3. Для полного набора событий их сумма - достоверное событие, т.е.
Р()= = = =1.
Отсюда для несовместных событий А и В ввиду отсутствия благоприятных исходов находим Р(АВ)=0 .
Далее, учитывая, что А+=Ω, вследствие несовместности события и ему противоположного получаем
Р(А+)=Р(А)+Р()=1 или Р()=1-Р(А).
В качестве примера рассмотрим бросание кубика. При условии полной симметрии кубика вероятность выпадения любой его грани равна 1/6. Поэтому для события А=”выпало четное число” из расчета три благоприятных исхода из шести возможных имеем Р(А)=3/6=1/2=0,5.
|
1 2 3 4 5 6 |
1 2 3 4 5 6 |
2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 |
2. 7. Схемы случайных экспериментов
Многие случайные события моделируются экспериментами с извлечением перенумерованных или разноцветных шаров из урны. Шары можно извлекать с учетом или без учета их номеров. После извлечения шар в урну можно вернуть, а можно этого не делать. Поэтому различают соответствующие схемы выбора, в каждой из которых общее число исходов и благоприятных исходов подсчитывается по-разному.
Сначала посчитаем количество перестановок в совокупности из n перенумерованных шаров. Для выбора первого шара имеется n возможностей. Второй шар может быть выбран уже только n-1 способом и т.д. Поскольку каждый способ выбора первого шара может комбинировать со всеми способами выбора остальных шаров, то число перестановок в группе из n перенумерованных шаров равно
N=n(n-1)(n-2) . . . 3·2·1=n!.
Для произведения последовательности чисел от 1 до n здесь использовано стандартное обозначение n!, которое читается как “n факториал”.