1.3. Операции над множествами

Аналогично числам над множествами можно производить определенные операции, для графической иллюстрации которых используются круги Эйлера, иначе называемые диаграммами Венна. Если рассматривается совокупность множеств, то множество, содержащее их все, называется универсальным (естественно для данной совокупности). Универсальное множество будем обозначать буквой U и изображать прямоугольником, а сами множества  эллипсами.

Операция пересечения двух множеств дает совокупность их общих элементов, т.е. принадлежащих одному и другому множествам одновременно. Данная операция обозначается

А∩В==

и графически иллюстрируется с помощью кругов Эйлера штриховкой. Из этого определения сразу же следует, что множества без общих элементов имеют своим пересечением пустое множество ( А∩В =). Такие множества называются непересекающимися и соответственно изображаются непересекающимися кругами Эйлера.

Примеры: {1, 3, 2}∩{3, -5, 6, 1}={1, 3}, {1, 3, 2}∩{-5, 6}=.

Данные примеры совместно с иллюстрацией убедительно показывают, что

А∩ВА, А∩ВВ, А∩А=А.

Объединением множеств называется общая совокупность их всех элементов. Эта операция обозначается так

А∪В={: или А∩В }.

Результатом объединения двух множеств является множество, состоящее из элементов первого или второго множества или обоих множеств одновременно (заштрихованная область).

Для рассмотренного выше примера

{1, 3, 2}∪{3, -5, 6, 1}={1, 3, 2, -5, 6}.

Очевидно также, что

А А∪В , В А∪В, А∪ А=А.

Разбиением множества А называется его представление в виде объединения непересекающихся множеств, т.е.

А= , =  𝑖≠𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛.

Разностью двух множеств называется совокупность элементов первого множества, не принадлежащих второму множеству.

Операция разности двух множеств осуществляется путем изъятия из первого множества элементов общих со вторым множеством, обозначается косой чертой и формально описывается выражением

А\В={ }.

Это равенство определяет разность двух множеств как совокупность элементов первого множества, не принадлежащих второму множеству. Для предыдущего примера

{1, 3, 2}\{3, -5, 6, 1}={2}.

Очевидно также, что

А\A=.

Поскольку пересечение множеств условно говоря сокращает (“уменьшает”) каждое из них, а объединение расширяет (“увеличивает”), то для любых множеств А и В справедливо включение

А∩ВАА∪В.

Универсальное множество U содержит все множества, связанные с рассматриваемой задачей. Дополнение множества А U обозначается и представляет собой совокупность элементов U, не принадлежащих А;

={ }.

Очевидно, что =U, =.

Пример. Все обучающиеся лица  U, а студенты вузов  А. Тогда  все учащиеся не студенты.

Операции над множествами обладают следующими свойствами.

1. Идемпотентность :

А∪А=А, А∩А=А.

2. Коммутативность (однозначность результата вне зависимости от порядка объектов операции):

А∪В= В∪А, А∩В=В∩А.

3. Ассоциативность (однозначность результата вне зависимости от порядка исполнения операций):

А∪(В∪С)=(А∪В)∪С, А∩(В∩С)=(А∩В)∩С .

Здесь скобки подобно арифметике определяют приоритет операций. При отсутствии скобок сначала выполняются операции пересечения, а затем объединения.

4. Дистрибутивность:

А∪(В∩С)=(А∪В)∩( А∪С), А∩( В∪С)=(А∩В)∪(А∩С).

5. Очевидные результаты операций, следующие из их определений и

особых типов множеств (, U, ):

А∪=А, A∩=, А\А=, A∩U=A, A∪U=U, А∪=U, =U\А.

Нетрудно убедиться в справедливости перечисленных ниже тождеств.

1. Если А∪В=А при всех А, то В=.

2. Если А∩В=А при всех А, то В=U.

3. Если А∪В=U и А∩В=, то В=.

4. Двойное дополнение множества дает его само, т.е. =А.

5. Законы двойственности де Моргана:

= ∩ , = ∪ .

ПРАКТИКУМ

1. Формализовать описание множества действительных чисел,

делящихся нацело на 2.5

G={𝑥R: 𝑥/2.5N }.

2. Дать описание круга радиуса 𝑟 c центром в начале координат как

геометрического места точек

{(𝑥, 𝑦): }.

3. Описать положительную полуось абсцисс на плоскости

{(𝑥, 𝑦): 𝑥>0, 𝑦=0}.

4. Если

А={𝑛N: 𝑛=2𝑘, 𝑘N}  множество положительных четных целых

чисел и

В={𝑛N: 𝑛=3𝑘, 𝑘N}  множество положительных целых чисел,

кратных 3,

то

А∪В= {𝑛N: 𝑛=2𝑘 или 𝑛=3𝑘, 𝑘N}  множество положительных

целых чисел, кратных 2 или 3,

А∩В= {𝑛N: 𝑛=2𝑘 и 𝑛=3𝑘, 𝑘N}={𝑛N: 𝑛=6𝑘, 𝑘N}  множество положительных целых чисел кратных сразу 2 и 3, а, следовательно,

и их произведению, т.е. 6.

5. Пусть

P={“⊿”}  множество прямоугольных треугольников,

F={”Δ”}  множество равнобедренных треугольников.

Тогда

P∪F={“⊿” или ”Δ”}  множество прямоугольных или

равнобедренных треугольников или и

тех и других,

P∩F={“⊿” и ”Δ”}  множество равнобедренных и в то же

время прямоугольных треугольников.

6. Доказать, что

А∪(А∩В)=А, А∩( А∪В)=А.

Поскольку, следуя правилам, сначала надлежит выполнить

операции, описанные в скобках, то в первом соотношении

множество А объединяется с его же частью, что своим

итогом имеет, конечно же А. Левая часть второго равенства

в результате пересечения множества А с множеством “бóльшим”

чем А естественно дает само А.

7. Лекции по математике слушают 20, а по информатике  40

студентов. Сколько учащихся слушают лекции по математике

или информатике, если лекции по обоим предметам проходят:

 в одни часы;

 в разное время и 15 студентов слушают оба предмета.

Два разных предмета в одно и то же время можно изучать только в разных аудиториях. Данная ситуация с помощью кругов Эйлера иллюстрируется непересекающимися эллипсами и ответом будет  60 человек.

На иллюстрации второй ситуации ем- кость пересечения множеств оказывается равной 15 студентам. Вне пересечения указаны численности студентов разных групп, за вычетом попавших в пересечение дважды в составе разных множеств и в качестве ответа получаем сумму всех чисел, т.е. 45 человек.

8. Для множеств А={1, 5, 3, 2} и В={2, 3, 1} какое из перечисленных

ниже утверждений будет правильным:

1) “Множества А и В равны” 2) “А является подмножеством В”

3) “В есть подмножество А” 4) “Множества А и В не равны”

5) “Множества А и В не имеют общих элементов”

До равенства множеству В не хватает элемента {5}, т.е.

А=В∪{5} и потому первый вариант ответа неверен. Поскольку все

элементы множества В в то же время являются элементами А

(А “больше” В), очевидно, правильным будет ответ под номером 3

(ВА)  А включает (содержит) В или В принадлежит А, а ответ

под номером 2  ошибочен. Вариант 4 является еще одним пра-

вильным ответом. Вариант 5 неверен.

9. Расположить результаты приведенных ниже операций над произ-

вольными множествами А, В и С так, чтобы каждый из них был

подмножеством последующего:

1) А∪В∪С 2) А∩В∩С 3) В∪С 4) А∩(В∪С).

В качестве ответа надо указать правильную последовательность

номеров операций. Учитывая, что пересечение множеств “меньше”,

а объединение “больше” каждого из них, то начинать цепочку

вложений будет номер 2 (самое “маленькое”), а замыкать ее  1

(самое “большое”). Номер 4 “меньше” номера 3, будучи пересече-

нием с номером 3. Следовательно, верным будет ответ 2- 4-3-1.

10. Для множеств М={a, b, c, d} и N={b, c, d, e, f, g} установить соответ-

ствие результатов операций предлагаемым вариантам ответов.

Операция: Варианты ответов:

1) M∪N A) {a}

2) M∩N B) {b, c, d}

3) M\N C) {a, b, c, d, e, f, g}

4) N\M D) {e, f, g}

Устанавливая соответствие операций ответам по номерам надо

указать правильную последовательность ответов из числа предла-

гаемых вариантов, следуя правилам приведенных операций. Тако-

вой будет последовательность C-В-A-D.

11.Установить последовательность вложения для множеств N, Z, Q, R.

По определению этих множеств верным будет ответ NZQR.

12.Какое из перечисленных ниже утверждений будет верным?

1) 15N 2) Z 3) 4,1N 4) Q 5) R 6)Z 7) N

По определению числовых множеств верными будут ответы под

номерами 1, 5 и 6. Ответы 2, 3, 4 и 7 неверны. Последние два

варианта ответов дают ±2 и в соответствии с предыдущей зада-

чей множество {-2, 2}ZQR, т.е. ответ 6 верен, а 7  ошибочен,

т.к. -2N.

13.Декартовым произведением множеств A={1, -3, 3} и B={-1, 2}

будет:

1) {(-1, 1), (-1, -3), (-1, 3), (2, 1), (2, -3), (2, 3)} 2) {}

3) {(1, -1), (1, 2), (-3, -1), (-3, 2), (3, -1), (3, 2)} 4) {1, -3, 3, -1, 2}

Только ответ 3 является верным, поскольку именно он образован

парами, в которых на первом месте стоит элемент первого мно-

жества, а на втором месте  элемент второго множества. Первый

вариант является результатом ВА, второй  А∩В, четвертый 

А∪В.

Задачи для самостоятельного решения

1. Формализовать (описать математически) множество целых чисел

на отрезке [0.1, 0.9].

2. Описать отрицательную полуось ординат.

3. Описать биссектрису первой четверти.

4. Для множеств А={1, 5, 3, 2} и В={2, 3, 1} найти результаты

операций А∪В, А∩В, А\В.

5. Расположить результаты приведенных ниже операций над

произвольными множествами А, В и С так, чтобы каждый из

них был подмножеством последующего множества:

1) А 2) А∩В 3) В∪A 4) А∪В∪С

6. Для множеств Р={a, c, d} и Q={b, c, a, m} установить соответ-

ствие результатов операций предлагаемым вариантам ответов.

Операция: Варианты ответов:

1) P∪Q A) {a, c}

2) P∩Q B) {b, m}

3) P\Q C) {c, a, b, d, m}

4) Q\P D) {d}

7. Какие из перечисленных утверждений являются верными

1) NQ 2) ZN 3) RQ 4) 2.5Z 5) Q.

8. Какое из перечисленных ниже множеств будет декартовым про

изведением множеств A={a, v, d} и B={3, 1}:

1) {(a, 1), (a, 3), (v, 3), (d, 1), (d, 3), (v, 1)} 2) {}

3) {(3, a), (3, v), (3, d), (1, a), (1, v), (1, d)} 4) {a, v, d, 3, 1}.

Вопросы для самопроверки

1. Дать определение множества.

2. Охарактеризовать способы задания множеств.

3. Особые типы множеств: пустое, универсальное, дополнение.

4. Пересечение множеств, графическая иллюстрация.

5. Объединение множеств, графическая иллюстрация.

6. Разность множеств, графическая иллюстрация.

7. Декартово произведение множеств.

8. Свойство коммутативности.

9. Свойство ассоциативности.

10. Свойство дистрибутивности.

11. Законы де Моргана.

Ч А С Т Ь 2

Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й