1.6.Мозаики Пенроуза

Рис . 34. Мозаика Пенроуза.

Английский математик Роджер Пенроуз придумал в 1973 году особенную мозаику из геометрических фигур (рис. 34,35).

Рис. 35. Мозаика Пенроуза в версии её создателя. Она собрана из ромбов двух типов, один – с углом 72 градуса, другой – с углом 36 градусов. Картина из неё получается симметричная, но не периодичная.

Называться она стала мозаикой Пенроуза. Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из двух немного различающихся ромбов, которыми можно замостить бесконечную плоскость без пробелов. Получающееся изображение выглядит так, будто является неким “ритмическим” орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией (такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно повторять и совмещать, используя только преобразование сдвига), но это не так, трансляционная симметрия отсутствует, но есть ось симметрии. Мозаику можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n =  5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, кратен 360 /  5 =  72 градусам. В отличии от рассмотренных выше вариантов плоских паркетов - мозаик (кристаллов), данный вариант назвается квазикристаллами.

В 2007 году физик Питер Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. Эти легко узнаваемые рисунки сделаны из мозаичной плитки. Они называются гирихи (от арабского слова “узел”) и представляют собой геометрический орнамент, характерный для исламского искусства и состоящий из многоугольных фигур. Долгое время считалось, что эти узоры создавались с помощью линейки и циркуля (рис. 36).

Рис. 36. Один из образцов выкладки плитки, показанный в арабском манускрипте XV века. Цветами исследователи выделили повторяющиеся области. На основе этих пяти элементов выстроены все геометрические узоры средневековых арабских мастеров, изученные Лу и Стейнхардтом. Как видите, повторяющиеся элементы не обязательно совпадают с границами плиток (иллюстрация Peter J. Lu).

а б

в г

Рис. 37. а - обложка Корана 1306-1315 годов и б - прорисовку геометрических фрагментов, на которых основан узор. Этот и следующий примеры не соответствуют решёткам Пенроуза, но обладают вращательной симметрией пятого порядка. в - индийская мечеть 1622 год и г – прорисовка геометрических фрагментов.

Ли обнаружил, что эти схемы практически одинаковы, и смог выделить основные элементы гирихов, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен (рис. 37 - 40).

Рис. 38. На этих снимках выделены одинаковые области, хотя это и фотографии из самых разных мечетей (иллюстрация Peter J. Lu).

В исламской традиции существовал строгий запрет на изображение людей и животных, поэтому в оформлении зданий большую популярность приобрёл геометрический орнамент. Средневековые мастера умудрялись делать его разнообразным. Секрет был в использовании специальных мозаик, которые могут, оставаясь симметричными, заполнять плоскость, не повторяясь.Другой “фокус” таких изображений в том, что, “копируя” такие схемы в различных храмах по чертежам, художники неизбежно должны были бы допустить искажения. Но такие нарушения минимальны. Объясняется это только тем, что в масштабных чертежах смысла не была: главное – принцип, по которому строить картину.

Рис. 39. Фрагмент орнамента иранского мавзолея 1304 года. Справа – реконструкция гирихов (иллюстрация Peter J. Lu).

Рис. 40. Портал святилища имама Дарб-и в Исфахане (Иран). Здесь друг на друга наложены сразу две системы гирихов (фото K. Dudley, M. Elliff, иллюстрация Peter J. Lu).

Для сборки гирихов применяли плитки пяти видов (рис.36), которые в мозаике составлялись, прилегая друг к другу без свободного пространства между ними. Мозаики созданные из них, могли обладать как сразу вращательной и трансляционной симметрией, так и только вращательной симметрией пятого порядка (то есть являлись мозаиками Пенроуза). Исследование средневековых мусульманских построек показало, что появление подобной тенденции датируется XIII веком. Постепенно этот способ приобретал всё большую популярность и к XV веку стал широко распространённым. Образцом почти идеальной квазикристаллической структуры исследователи посчитали святилище имама Дарб-и в иранском городе Исфахане, датируемое 1453 годом (рис. 40).