Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
методичка для дизайнеров.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
09.11.2018
Размер:
23.54 Mб
Скачать

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна»

Кафедра высшей математики

Математика

Опорный конспект лекций, методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников 1-го курса специальность

051000- Профессиональное обучение (по отраслям)

Декоративно- прикладное искусство и дизайн; Имиджевый дизайн, Дизайн (парикмахерское искусство и дизайн прически)

Составитель

Г. П. Мещерякова

Санкт-Петербург

2011

В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу. Д. Гильберт

  1. Геометрия на плоскости

Прямая, для которой указано направление, начало отсчета и масштаб называется числовой осью. Каждой точки оси сопоставляется число, которое называется ее координатой. Прямоугольная (декартова) система координат вводится следующим образом: выбираются две взаимно перпендикулярные числовые оси, которые пересекаются в точке O, называемой началом системы координат. Горизонтальную ось, имеющую положительное направление слева направо, называют осью абсцисс, а вертикальную, направленную снизу вверх - осью ординат.

Рис. 1. Декартова система координат

Спроектируем точку M ортогонально на обе оси, координату точки Р обозначим за х, координату точки Q обозначим за y. Числа х и y называются координатами точки M в декартовой системе координат. Положение любой точки плоскости M вполне определяется заданием координат этой точки - упорядоченной пары чисел (х,y), Задать точку в фиксированной системе координат означает указать значения ее координат.

На плоскости расстояние между двумя точками измеряется по прямой и полагается равным длине соединяющего их отрезка. В фиксированной системе координат расстояние d между двумя точками на плоскости M(хi,yi) и N(xj,yj) вычисляется по следующей формуле (теорема Пифагора).

d2 = (xi,- xj)2 + (yi - yj)2 (1)

Пример. Найти расстояние d между двумя точкам M(-3,4) и N((5.2). Согласно вышеприведенной формуле имеем

Введение системы координат позволяет геометрические объекты определять при помощи формул. Наука, занимающаяся исследованием геометрических форм с помощью алгебраического анализа, называется аналитической геометрией. В аналитической геометрии найти геометрическую фигуру или тело означает записать уравнение, решения которого определяет координаты искомой фигуры (тела).

    1. Преобразования координат на плоскости.

Существуют следующие преобразования декартовой системы координат на плоскости: сдвиг, растяжение-сжатие, зеркальное отражение и поворот системы координат.

  1. Сдвиг T (рис. 2 а, б).

Преобразование системы координат задается системой уравнений

(2)

Рис. 2 а. Сдвиг осей координат. Рис. 2 б. Сдвиг рисунка.

2. Растяжение – сжатие D (zoom) (рис. 3, 4.).

Рис. 3. Растяжение осей координат. Рис. 4. Левый рисунок сжат.

Преобразование системы координат задается системой уравнений

(3)

Растяжение по осям координат может не совпадать.

3.Зеркальное отражение M. Зеркальное отображение может проводится относительно оси ОХ, оси OY или относительно начала координат. Последнее преобразование может быть получено как комбинация двух первых (рис. 5, 6,7)

Рис. 5. Зеркальное отображение. Рис. 6. Пример зеркального

отображения.

Рис. 7. Зеркальное отражение арок. Собор в Солсбери, Англия. Х111 век

Преобразование системы координат задается уравнениями:

зеркальное отображение относительно оси ОХ

(4)

зеркальное отображение относительно оси OY

(5)

зеркальное отображение относительно начала координат

(6)

4.Поворот системы координат R (рис. 8).

Рис. 8. Поворот системы координат на угол φ против часовой стрелки.

Преобразование системы координат задается уравнениями

(7)

здесь φ –угол поворота новой системы координат относительно старой против часовой стрелки.