1.4. Выпуклые и звездчатые многоугольники

Правильный многоугольник (т.е. многоугольник, имеющий равные стороны и равные углы при вершинах) называется выпуклым, если две любые его точки могут быть соединены прямой, точки которой принадлежат многоугольнику (рис. 23). Все правильные многоугольники могут быть вписаны в круг, при этом выпуклые и звездчатые правильные многоугольники одного и того же порядка n имеют одинаковое число плоскостей симметрии и ось симметрии n-того порядка.

Рис. 23. Выпуклый и звездчатый правильные восьмиугольники.

Например, оба правильных восьмиугольника на рис. 23 имеют ось симметрии 8-го порядка (при повороте на угол 360⁰/8=45⁰ многоугольник совпадает сам с собой) и 4 плоскости симметрии, которыми являются его диагонали (при сгибе многоугольника по каждой из плоскостей части фигуры наложатся друг на друга).

При одном и том же количестве вершин существуют разные звездчатые многоугольники. Поэтому надо указывать с какой по счету вершиной связана начальная вершина. Так, если вершину соединяем с соседней, т.е. первой по счету, то получим выпуклый многоугольник, обозначение n/1, если соединяем со второй по счету, то получим звездчатый многоугольник n/2, если с третьей – то n/3 (рис. 24).

Рис. 24. Многоугольники 8/1, 8/2, 8/3.

Рис. 25. Звезда ордена Святого Георгия.

Выпуклые и звездчатые правильные многоугольники широко используются в дизайне, именно такую форму имеют многие награды, например Звезда Ордена Святого Георгия (Российская империя) имеет форму квадрата (рис. 25) а Орден Отечественной войны СССР имеет форму звездчатого пятиугольника ( рис. 26).

Рис. 26. Орден Отечественной войны (СССР).

Звездчатых аналогов не имеют только правильные треугольник и четырехугольник (квадрат). Но если ввести искусственную фигуру – «двуугольник» - как линию конечной толщины, то для правильного треугольника можно построить звездчатый аналог из трех двуугольников, причем эта фигура будет обладать теми же тремя плоскостями симметрии, что и правильный треугольник и также осью симметрии третьего порядка (рис. 27).

Для квадрата (рис. 28) звездчатым аналогом будет совокупность двух крестов - прямого (греческого, рис. 28а) и косого (андреевского, рис. 28б). У каждого из составляющих крестов есть ось симметрии 4-го порядка, но они имеют только по две плоскости симметрии. Совокупность из двух таких крестов имеет столько же плоскостей симметрии, сколько у квадрата. Это говорит о том, что квадрат имеет два набора плоскостей симметрии, по две плоскости в каждом, не сводящиеся друг к другу. Этим же свойством обладают все четноугольные многоугольники. Нечетноугольные же имеют только один набор плоскостей симметрии.

а б в

Рис. 27. «Звездчатый» треугольник. Рис. 28. «Звездчатый» квадрат.

С правильным пятиугольником связано понятие «золотого сечение». Если сторона правильного выпуклого пятиугольника равна 1, то, как несложно вычислить, длина d отрезка АС равна (рис. 29)

(10)

Это число d и называется «золотым сечением». Сейчас его принято обозначать буквой φ =1,6180339887....

Рис. 29. Золотое сечение.

С понятием золотого сечения связано понятие золотой пропорции. Золотая» пропорция — это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к меньшей, как целое относится к большей (рис. 30 )

Рис. 30 . Деление отрезка на части в пропорции золотого сечения.

Если обозначить длину отрезка АВ за а, а длину ВС за b, то длина AС будет а +b

(11)

   Решение этого уравнения относительно b / a также даёт 1,61803398…

   Иногда оперируют обратной величиной:

a / b = 1 / φ = φ – 1 = 0,61803398…

О золотом сечении знали еще в древнем Египте, Вавилоне, Индии и Китае. Ле Корбюзье считал, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и других египетских храмах пропорции фигур соответствуют золотым пропорциям. Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению», Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» проповедовали Леонардо да Винчи и Микеланджело, которые считали, что такие пропорции наиболее совершенны и приятны для человека. Христианские мистики рисовали на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. Эта пропорция сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение».

    «Золотым прямоугольником» называют прямоугольник у которого короткая сторона равнв 1, а длинная числу d. Если рассмотреть 10-угольник со стороной 1, то радиус описанной окружности будет равен d.

«Золотой спиралью» называется линия, уравнение которой в полярных координатах имеет вид

(12)

где ρ – полярный радиус, а α – полярный угол.

Золотая спираль довольно часто встречается в природе как форма ракушек у моллюсков. Приближенно золотую спираль можно построить так: взять золотой прямоугольник, отделить квадрат и вписать касательную дугу. Можно показать, что оставшийся прямоугольник также будет золотым, отделяем квадрат и повторяем действия (рис. 31).

Рис. 31. Приближенное построение золотой спирали.