3. Линии на плоскости.

Рассмотрим с точки зрения аналитической геометрии некоторые наиболее важные для приложений линии на плоскости.

Прямая линия на плоскости.

а б

Рис. 17. Прямая линия на плоскости.

Пусть, как показано на рис.17 а, в фиксированной системе координат прямая линия пересекает ось ординат в точке B(0, b) под углом . Выберем на прямой произвольную точку M(x,y), такая точка называется текущей. Проекции направленного отрезка BM на оси координат соответственно равны пр₁BM = х, пр_yBM = y-b. При скольжении точки M по прямой проекции изменяются, однако, их отношение, равное

tg  = (8)

сохраняется для всех точек нашей прямой и не выполняется для точек не принадлежащих прямой. Тангенс угла φ называется угловым коэффициентом и обозначается к. Выразив y, получим "уравнение прямой линии с угловым коэффициентом"

у = х tg + b или у = кх + b, (9)

Если b = 0, то прямая проходит через начало координат. Если к = 0 то прямая проходит параллельно оси абсцисс и ее уравнение у = b.

Если вместо точки В дана другая фиксированная точка N(x₀,y₀) (см. рис. 17 б), то проводя аналогичные рассуждения легко получить "уравнение прямой, проходящей через данную точку"

k = tg  = или y – y₀ = k (x – x₀) . (10,а)

Если известны две точки А(х_а,у_а) и В(х_b,у_b), лежащие на одной прямой, то уравнение имеет вид

(10,б)

Любое из уравнений (9, 10) можно привести к виду Ах + By + С = 0. Например, для уравнения (9) A =k, B = -1, C = b, т.е. прямая в прямоугольной системе координат может быть описана линейным уравнением первой степени.

Следовательно, уравнение Ах + Ву + С = 0 описывает только прямые линии на плоскости и называется общим уравнением прямой на плоскости.

Пример. Даны вершины треугольника А(-3,-3), В(2,7) и С(5,1). Требуется написать уравнения сторон треугольника, сделать чертеж.

Рис. 18.

Решение. Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

AВ: или у = 2х + 3.

Аналогично

АС: или у = 0,5х -1,5

СВ: или у = -2х +11.

Кривые второго порядка.

Для практики большое значение имеют линии, которые в прямоугольной системе координат описываются алгебраическими уравнениями второй степени

Ax² + B xy + C y² + Dx + Ey + F = 0 (11)

причем хотя бы один из коэффициентов А, B, С должен быть не равен нулю. Рассмотрим наиболее важные частные случаи уравнения (11).

Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке M(а,b) имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = R² (12)

Если раскрыть скобки, то мы увидим, что уравнение (11) получается из уравнения (12), если A = C = 1, B = 0, D = -2a, E = -2b, F = - R² + a² + b² .

Пример. Пусть задано уравнение х² + y² - 4x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра? Решение. Приведем данное уравнение к виду (12). Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4.

x² + y² - 4x = (x² - 4x + 4) + y² - 4 = 0 или (x - 2)² + y² = 2^2. (13)

Сравнивая (12) с (13), видим, что заданное уравнение есть уравнение окружности радиусом R =2 и с центром в точке M с координатами а = 2, b = 0.

Эллипс. Эллипс - замкнутая кривая, для всех точек которой сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, одинакова и равна, по определению, 2а . Для эллипса, представленного на рис.19, сумма расстояний MF₁ и MF₂ равна сумме расстояний NF₁ и NF₂ и равна 2а. Каноническое уравнение эллипса, центр симметрии которого находится в начале координат, а фокусы лежат на оси ОХ симметрично относительно оси OY

(14)

Параметры a и b называются его полуосями. Уравнение (11) получим из (14) если B = D = E = 0, A = 1/a², C = 1/b², F = -1. Очевидно, что окружность - частный случай эллипса, у которого a = b = R, а центр находится в начале координат.

Рис. 19. Эллипс

Гипербола. Гипербола – неограниченная кривая, для всех точек которой разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 20). Разность MF₂ – MF₁ равна разности NF₁ – NF₂ и по определению равна 2а. Каноническое уравнение гиперболы, центр симметрии которой совпадает с началом координат, а фокусы лежат на ост OX симметрично оси OY

, (15)

Параметры а и b называются полуосью и мнимой полуосью гиперболы. Уравнение (11) получим из (15) если B = D = E = 0, A =1 /a², C = (-1)/b², F = -1. Особенность гиперболы – наличие асимптот - прямых к которым неограниченно приближается кривая при . Уравнения асимптот .

Рис. 20. Гипербола

Парабола. Парабола - неограниченная кривая, все точки которой (см. рис.21) равноудалены от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директриссой. Для параболы изображенной на рис. 21 расстояния MK = MF , NF = NL и DO = OF. Каноническое уравнение параболы, ось которой совпадает с осью ОХ, а вершина лежит в начале координат

y² = 2px, (16)

Уравнение (11) получим из (16) если A = B = E = F = 0, C = 1, D = -2p.

Рис. 21. Парабола.

Сделав поворот и сдвиг системы координат любое уравнение (11) можно привести только к одному из трех уравнений второй степени: (13-15) или к уравнению вида а² х² = b² y² , которому соответствуют две прямые. Это означает, что уравнениями второй степени можно описать только эллипс (и его частный случай окружность), гиперболу или параболу. Все другие кривые в прямоугольной системе координат будут описываться уравнениями более высокого порядка.

Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С(x₀, y₀) (случай В).

А В

Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола

Пример . Дано уравнение кривой второго порядка . Определить тип кривой и сделать чертеж.

Решение. Сравнивая с табличными данными находим, что это парабола, вершига которой находится в точке С(x₀, y₀) . приводим уравнение параболы к виду .

х₀ = 0, у₀ = 2, р = 1. Чертеж

Рис. 22.