2 Точки в четвертях и октантах пространства

Алгоритмы решения задач работают во всех восьми октантах. Октант – это восьмая часть пространства, которая получается от деления пространства уже известными нам плоскостями проекций – горизонтальной, фронтальной и профильной (Рисунок 8).

Рисунок 8

Из школьной программы по математике Вы наверняка помните, что отсчет по осям Х и У был как в положительном направлении, так и в отрицательном. Та же самая ситуация складывается и в нашем случае, только у нас три оси проекции - ОХ, ОУ и ОZ. Нумерация октантов показана на рисунке. Посмотрите, какие координаты должна иметь точка, которая попадет во второй октант, если второй октант образован положительным направлением оси ОХ, отрицательным направлением оси ОУ и положительным направлением оси ОZ. Например, это будет точка А (15, -10, 20).

Давайте построим ее эпюр (см рисунок 9). Если точка лежит в седьмом октанте то все ее координаты будут иметь отрицательные значения, например В (-20, -15, - 30). Эпюр точки В изображен на рисунке 10.

Рисунок 9 Рисунок 10

3 Точка в поле проекций

Если у точки одна из трех координат – X, Y или Z равна нулю, то точка будет лежать в горизонтальном, фронтальном или профильном полях проекций. Давайте построим точку А с координатами (0, 15, 40). Наглядное изображение точки с указанием ее проекций можно увидеть на рисунке 11, а эпюр точки А на рисунке 12.

Рисунок 11 Рисунок 12.

Точка лежит в профильном поле проекций и совпадает со своей профильной проекцией. Фронтальная проекция точки А лежит на оси OZ, а горизонтальная на оси OY. Если точка лежит в горизонтальном поле проекций, то ее координата Z должна быть равна нулю. Попробуйте построить, например точку С (20, 40, 0). Проверьте себя по рисунку 13.

Если точка лежит во фронтальном поле проекций, то ее координата Y равна нулю. Для примера построим эпюр точки Т (15, 0, 30) на рисунке 14.

Рисунок 13 Рисунок 14

Иногда точка может лежать сразу в двух плоскостях проекций, например, если точка принадлежит одной из трех осей проекций. Давайте рассмотрим такой вариант. Пусть точка А лежит на оси OZ. Тогда ее координаты Х и Y равны нулю, и только координата Z имеет какое-то значение, например 40. На рисунке 15 выполнено наглядное изображение точки, а эпюр точки А (0, 0, 40) выполнен на рисунке 16. Обратите внимание, что сама точка будет совпадать со своей фронтальной и профильной проекцией, а горизонтальная проекция точки А1 совпадет с началом координат.

Рисунок 15 Рисунок 16

Эпюр точки, лежащей на оси ОY можно посмотреть на рисунке 17, а эпюр точки, лежащей на оси ОХ на рисунке 18. Попробуйте самостоятельно построить эпюры точек S (0, 25, 0), Т (45, 0, 0). Сравните их с рисунками 17 и 18. Какая из этих точек, по-Вашему, лежит на оси OY, какая на оси ОХ ?

Рисунок 17 Рисунок 18