§ 4. Ранг матриці.

Мінором порядку k, що побудований за елементами матриці, називається визначник, складений з її елементів, що розташовані на перетині k її фіксованих рядків та k фіксованих стовпчиків.

Рангом матриці А називається порядок максимального ненульового мінору, що побудований за її елементами, а будь-який такий мінор називається базисним мінором матриці та позначається . Зауважимо, що у матриці А базисний мінор може бути не один. Ранг матриці А позначається через .

З означення випливає:

1) ;

2) (тобто матриця А – нульова);

3) якщо матриця А – квадратна порядку n, то .

Метод елементарних перетворень знаходження рангу та базисного мінора

Теорема. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях над її рядками та стовпчиками.

Для знаходження рангу за допомогою елементарних перетворень матрицю А розмірності зводять до трапецієвидного вигляду:

,

після чого ранг початкової матриці дорівнює кількості ненульових елементів на головній діагоналі трапецієвидної матриці, тобто .

Для зведення матриці А до трапецієвидного вигляду слід виконати дії за наступним алгоритмом.

1 крок. Серед елементів матриці А шукаємо ненульовий, називаємо його ведучим. За допомогою перестановки рядків та стовпчиків переміщуємо цей елемент на перше місце головної діагоналі та шляхом елементарних перетворень над всіма наступними рядками та ведучим рядком робимо нулі під ведучим елементом.

k-й крок. Серед елементів матриці, отриманої на попередньому кроці, починаючи з k-го її рядка та k-го стовпчика, шукаємо ненульовий (якщо такі рядки та стовпчики ще залишились в матриці).

Якщо такий є, то називаємо його ведучим. За допомогою перестановки рядків та стовпчиків переміщуємо цей елемент на k-те місце головної діагоналі та шляхом елементарних перетворень над всіма наступними рядками та ведучим рядком робимо нулі під ведучим елементом.

Якщо такого немає, то матриця має трапецієвидний вигляд, алгоритм завершено, ранг початкової матриці дорівнює кількості ненульових елементів на головній діагоналі трапецієвидної матриці.

Для знаходження одного з базисних мінорів початкової матриці слід відмітити ненульові елементи головної діагоналі трапецієвидної матриці та повертаючись по перетвореннях алгоритму у протилежному напрямку, відслідкувати їх розташування в початковій матриці. Один з базисних мінорів матриці А буде розташований на перетині тих її рядків та стовпчиків, де знаходяться виділені елементи.

Приклад 9. В залежності від значень параметра с знайти ранг та базисний мінор матриці .

На першому кроці виберемо за ведучий перший елемент головної діагоналі:

.

При цьому використовувались наступні перетворення: до другого рядка додавались елементи ведучого (першого) рядка, помноженого на (–2), до третього рядка додавались елементи ведучого, помноженого на (–3), до четвертого рядка додавались елементи ведучого, помноженого на (–4), до п’ятого рядка додавались елементи ведучого, помноженого на (–5).

На другому кроці шукаємо ведучий елемент, починаючи з другого рядка та другого стовпчика останньої матриці (тобто у виділеній області): . Візьмемо, наприклад, виділений елемент:

,

тобто на другому кроці ведучий рядок ми переставили на друге місце. Інші елементарні перетворення не знадобилися, оскільки під ведучим елементом розташовані нульові елементи.

На третьому кроці вибираємо ведучий елемент у виділеній області останньої матриці (вибраний елемент виділено):

,

аналогічно попередньому кроку досить було лише переставити третій та четвертий стовпчики.

На четвертому кроці вибираємо ведучий елемент у виділеній області матриці, переставляємо його стовпчик на четверте місце, після чого додаємо ведучий рядок, помножений на (–1), до останнього рядка.

.

На п’ятому кроці шукаємо ведучий елемент у виділеній області останньої матриці:

Виникають 2 можливості:

1) , тоді всі елементи виділеної області нульові, алгоритм припиняється, . Відслідковуючи ненульові елементи головної діагоналі останньої матриці перетворень, знаходимо їх розташування у початковій матриці:

,

отже, один з базисних мінорів матриці А має вигляд:

.

2) . За ведучий елемент беремо (с–5), переставляємо його стовпчик на п’яте місце, після чого, очевидно, алгоритм припиняється, . Відслідковуючи ненульові елементи головної діагоналі останньої матриці перетворень, знаходимо їх розташування у початковій матриці:

,

отже, один з базисних мінорів матриці А має вигляд: