- •Розділ iі матриці та визначники
- •§1. Матриці та дії над ними.
- •Поняття матриці
- •Види матриць
- •Операції над матрицями
- •Елементарні перетворення над матрицями
- •§ 2. Визначники квадратних матриць
- •Метод пониження порядку визначника
- •Властивості визначників
- •§ 3. Обернена матриця
- •§ 4. Ранг матриці.
- •Метод елементарних перетворень знаходження рангу та базисного мінора
- •Завдання для самостійної роботи
- •Варіанти індивідуальних завдань
Елементарні перетворення над матрицями
До елементарних перетворень над матрицями відносяться:
-
перестановки місцями двох рядків (стовпчиків) матриці;
-
множення рядка (стовпчика) матриці на ненульове число;
-
додавання до рядка (стовпчика) матриці іншого її рядка (стовпчика), помноженого на довільне число;
-
викреслення нульового рядка (стовпчика) матриці.
Дві матриці називаються еквівалентними (АВ), якщо одну можна отримати з іншої за допомогою елементарних перетворень.
§ 2. Визначники квадратних матриць
Визначник є числовою характеристикою квадратної матриці, яка використовується при розв’язанні систем лінійних рівнянь, знаходженні обернених матриць тощо. Визначник квадратної матриці А позначається або detA.
Визначником матриці першого порядку називається елемент .
Визначником матриці другого порядку називається число, яке розраховується за формулою .
Визначником матриці третього порядку називається число, яке обчислюється за формулою
.
Рис. 1.
За допомогою схеми можна запам’ятати формулу обчислення визначника третього порядку: визначник складається із шести доданків, кожен доданок формули являє собою добуток трьох елементів матриці, вибраних по одному з кожного рядка та кожного стовпчика та позначених на схемі однаковим кольором. Зі знаком «+» беруться три добутки, отримані з лівого малюнку, зі знаком «–» - отримані з правого малюнку. Таке правило обчислення визначників третього порядку називається правилом трикутників.
Приклад 4. Обчислити визначник: .
==
=66.
Наведені вище означення визначників є частинними випадками означення визначника n-го порядку. Перед тим, як навести це означення, введемо наступні поняття.
Перестановкою з n елементів називається впорядкований набір перших n натуральних чисел. Кількість перестановок з n елементів дорівнює .
Два елементи перестановки утворюють інверсію, якщо більший елемент розташований в перестановці перед меншим.
Перестановка називається парною, якщо містить парну кількість інверсій, та непарною, якщо містить непарну кількість інверсій.
Визначником квадратної матриці А називається число, що дорівнює сумі всіх можливих добутків елементів матриці А, взятих по одному з кожного її рядка та кожного стовпчика, причому доданок береться із знаком “плюс”, якщо перестановка других індексів елементів, що входять в цей добуток, парна, та із знаком “мінус”, якщо ця перестановка непарна, за умови, що перші індекси цих елементів впорядковані за зростанням. Очевидно, кількість доданків при обчисленні визначника n-го порядку дорівнює n!
Із зростанням розмірності визначника кількість доданків сильно збільшується, тому на практиці при обчисленні визначників вищих порядків загальне означення не використовується. Основним методом обчислення таких визначників є метод пониження порядку.
Метод пониження порядку визначника
Додатковим мінором до елемента квадратної матриці називається визначник матриці, яка утворюється з даної викресленням того рядка і того стовпчика, де знаходиться цей елемент.
Алгебраїчним доповненням до елемента квадратної матриці називається число .
Теорема Лапласа. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого її рядка (стовпчика) на їх алгебраїчні доповнення.
Значення теореми Лапласа полягає в тому, що вона дозволяє звести обчислення визначника n-го порядку до обчислення визначників (n–1)-го порядку.
Приклад 5. Обчислити визначник: .
Розкладемо визначник, користуючись теоремою Лапласа, за першим стовпчиком.
== === –30.
Зауваження. З розв’язку видно, що визначник верхньо- або нижньотрикутної матриці дорівнює добутку елементів її головної діагоналі.
Якщо б серед елементів матриці не було б нульових, то використання теореми Лапласа привело б до обчислення чотирьох ненульових доданків з визначниками третього порядку. Отже, в таких випадках перед використанням теореми необхідно спростити елементи визначника, користуючись властивостями визначників.