-
Определение ведущих столбца и строки
Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбираем наибольший по абсолютной величине, что и определяет ведущий столбец, который показывает, какая переменная на следующей итерации перейдет из свободных в базисные.
Затем
элементы столбца свободных членов
симплексной таблицы делим на положительные
элементы ведущего столбца. Результаты
заносим в отдельный столбец(
i).
Строка симплексной таблицы соответствующая
минимальному значению
i,
является ведущей. Она определяет
переменную хi,
которая на следующей итерации выйдет
из базиса и станет свободной.
Элемент симплексной таблицы, находящийся на пересечении ведущих столбцов, называют разрешающим и выделяют кружком.
За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий переменной х4, т.к. сравнивания по модулю [-650] >[-150].
Вычислим значения
i
по
строкам и выберем наименьшее 1200000/300 =
4000; 15200/75=202,667(min); 11200/25=448;
следовательно, строка х7 является
ведущей.
Разрешающий элемент равен 75 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
4. Построение нового плана.
Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Сначала заменим переменные в базисе, т.е. вместо (хi) (х7) в базис войдет переменная (хj) (х4) соответствующая ведущему столбцу.
-
Разделим все элементы ведущей строки предыдущей симплексной таблицы на разрешающий элемент и результаты деления занесем в начальную строку следующей симплексной таблицы, т.е.
(х4) 15200/75=202,667; -8,8/75=-0,117; -9,9/75=-0,132;-32/75=-0,427;75/74=1 и т. д.
-
Все остальные других строк определяются по формуле:
(нов.коэфф.)=(соотв.коэфф.пред.табл.)–коэфф.ведущ.столбца) х (коэфф.нач.строки)
Выполняя последовательно все этапы алгоритма, формулируем план 2.
Таблица -3. Второй симплексная таблица
|
План
|
Базисные переменные |
Свободные члены |
Основные переменные |
Дополнительные переменные |
|
|||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
Х7 |
Х8 |
Х9 |
||||
|
II |
х5 |
9800 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9800 |
|
х6 |
1139199,9 |
55,1 |
57,6 |
158,1 |
0 |
0 |
1 |
-3,9 |
0 |
0 |
7205,6 |
|
|
Х4 |
202,667 |
-0,117 |
-0,132 |
-0,427 |
1 |
0 |
0 |
0,013 |
0 |
0 |
- |
|
|
Х8 |
6133,325 |
2,925 |
3,3 |
-21,325 |
0 |
0 |
0 |
-0,325 |
1 |
0 |
- |
|
|
Х9 |
2000 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2000 |
|
|
Индексная строка |
F(x1) |
131733,55 |
-226,05 |
-85,8 |
-277,55 |
0 |
0 |
0 |
8,45 |
0 |
0 |
- |
1
Анализ второго плана: Во второй вариант плана входит одна основная переменная х4(количество структурных коров). Следовательно, хозяйство может содержать на данном этапе всего 203 структурные коровы. Но это поголовье не требует расходование всех производственных ресурсов, поэтому остальные величины столбца свободных членов представляют собой недоиспользованные ресурсы: пашни(х5)-9800,трудовых ресурсов(х6)-1139199,9 чел.-ч., сочных кормов (х8)-6133,325 ц корм. ед. , и заданную площадь посева кукурузы(х9)-2000 га. Стоимость товарной продукции при этом будет равна 131733 руб. План не оптимальный т.к. в индексной строке имеется отрицательный коэффициенты (-226,05;-85,8;-277,55). В соответствии с изложенной методикой составляем третью и последующие таблицы до тех пор пока не получим оптимальный вариант плана. В нашем случае этот план будет на пятом этапе.(табл.4)
Таблица 4-Последняя симплексная таблица
|
План
|
Базисные переменные |
Свободные члены |
Основные переменные |
Дополнительные переменные |
|
|||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
Х7 |
Х8 |
Х9 |
||||
|
III |
Х1 |
7800 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
9800 |
|
Х6 |
393219,9 |
0 |
2,5 |
0 |
0 |
-55,1 |
1 |
-3,9 |
0 |
-103 |
7205,6 |
|
|
Х4 |
1969,267 |
0 |
-0,015 |
0 |
1 |
0,117 |
0 |
0,013 |
0 |
0,31 |
- |
|
|
Х8 |
25968,325 |
0 |
0,375 |
0 |
0 |
-2,925 |
0 |
-0,325 |
1 |
24,25 |
- |
|
|
Х3 |
2000 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2000 |
|
|
Индексная строка |
F(x1) |
2453533,55 |
0 |
140,25 |
0 |
0 |
226,05 |
0 |
8,45 |
0 |
51,05 |
- |
1
Анализ оптимального плана: При заданных условиях максимум товарной продукции растениеводства и животноводства в сумме 2453534 рубля обеспечивается при посеве зерновых культур(х1) на площади 7800 га и кукурузы(х3)-2000 га. Полученные корма позволят содержать 1969 структурных коров(х4). При этом недоиспользуются трудовые ресурсы в количестве 393220 чел.-ч. и сочных кормов 25968 ц. корм.ед.
В оптимальном плане среди базисных переменных находится дополнительная переменная х6. Это указывает, что ресурсы третьего вида (площадь складских помещений) недоиспользована на 1875 м2, т.к. переменная х6 была введена в третье ограничение задачи, характеризующее собой использование складских помещений этого ресурса.
Задачи для самостоятельного решения
Решить симплекс-методом следующие задачи
Задача 1.
Задача 2
Определить рациональное сочетание посевов ржи и пшеницы. Для их возделывания выделяется 1500 га пашни, 21000 чел.-дней трудовых ресурсов и 1950 ц минеральных удобрений. Затраты производственных ресурсов на 1 га посева каждой культуры и выход продукции приведены в таблице.
|
Показатели |
Рожь |
Пшеница |
|
Затраты труда, чел.-дн. Норма внесения удобрений, ц Урожайность,ц/га. |
15 1,5 24 |
11 1,2 20 |
Критерий оптимальности – максимум производства зерна
Задача 3.
Фабрика имеет в своём распоряжении определённое количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырьё, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, например, ресурсы трёх видов: рабочая сила, сырьё и оборудование – имеются в количестве соответственно 80(чел./дней),480(кг) и 130(станков/ч.)
Фабрика может выпускать ковры четырёх видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходов, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведены в таблицы.
|
Ресурсы |
Нормы расхода на единицу изделия |
Наличие ресурсов |
|||
|
ковёр «Лужайка» |
ковёр «Силуэт» |
Ковёр «Детский» |
ковёр «Дымка» |
||
|
Труд |
7 |
2 |
2 |
6 |
80 |
|
Сырьё |
5 |
8 |
4 |
3 |
480 |
|
Оборудование |
2 |
4 |
1 |
8 |
130 |
|
Прибыль(тыс.руб.) |
3 |
4 |
3 |
1 |
- |
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет получена максимальная прибыль предприятия.
Задача 4
Задача 5
Найти максимальное значение линейной формы:
F(max)= 18X1+21X2+15X3 →max
При условиях:
Х1+Х2+Х3<= 2700;
15X1 + 10X2+8X3<= 250000
12Х1+Х2+0.8X3=2500
Х3>= 300
Варианты задач для домашней контрольной работы
Вариант 1
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
|
Тип |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы |
|||
|
сырья |
А |
Б |
В |
Г |
сырья |
|
I |
1 |
2 |
1 |
0 |
18 |
|
II |
1 |
1 |
2 |
1 |
30 |
|
III |
1 |
3 |
3 |
2 |
40 |
|
Прибыль изделия |
12 |
7 |
18 |
10 |
|
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет получена максимальная прибыль предприятия
Вариант 2
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
|
Тип |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы |
|
|
|
||||
|
сырья |
А |
Б |
В |
Г |
сырья |
|
|||
|
I |
1 |
0 |
2 |
1 |
180 |
|
|||
|
II |
0 |
1 |
3 |
2 |
210 |
|
|||
|
III |
4 |
2 |
0 |
4 |
800 |
|
|||
|
Прибыль изделия |
9 |
6 |
4 |
7 |
|
|
|||
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет получена максимальная прибыль предприятия.
Вариант 3
Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
|
Тип |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы |
||
|
Сырья |
А |
Б |
В |
сырья |
|
I |
4 |
2 |
1 |
180 |
|
II |
3 |
1 |
3 |
210 |
|
III |
1 |
2 |
5 |
244 |
|
Прибыль |
10 |
14 |
12 |
|
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет получена максимальная прибыль.
Вариант 4
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
|
Тип |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы |
|
|
|
||||
|
Сырья |
А |
Б |
В |
Г |
сырья |
|
|||
|
I |
2 |
1 |
3 |
2 |
200 |
|
|||
|
II |
1 |
2 |
4 |
8 |
160 |
|
|||
|
III |
2 |
4 |
1 |
1 |
170 |
|
|||
|
Прибыль изделия |
5 |
7 |
3 |
8 |
|
|
|||
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет получена максимальная прибыль.
Вариант 5
На основании информации приведенной в таблице найти оптимальное использование ресурсов на максимум общей стоимости.
|
Ресурсы |
Нормы затрат ресурсов на единицу продукции |
Запасы |
||
|
I вид |
II вид |
III вид |
||
|
Труд |
1 |
4 |
3 |
200 |
|
Сырье |
1 |
1 |
2 |
80 |
|
Оборудование |
1 |
1 |
2 |
140 |
|
Цена |
40 |
60 |
80 |
|
Вариант 6
На предприятии выпускается три вида изделий, используется при этом три вида сырья:
|
Сырье |
Нормы затрат ресурсов на единицу продукции |
Запасы |
|
|||
|
|
А |
Б |
В |
сырья |
|
|
|
I |
18 |
15 |
12 |
360 |
|
|
|
II |
6 |
4 |
8 |
192 |
|
|
|
III |
5 |
3 |
3 |
180 |
|
|
|
Цена |
9 |
10 |
16 |
|
|
|
На основании информации приведенной в таблице найти оптимальное использование ресурсов на максимум общей стоимости.
Вариант 7
Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.
|
Ресурсы |
Нормы затрат ресурсов на единицу продукции |
Запасы |
||
|
I вид |
II вид |
III вид |
||
|
Труд |
3 |
6 |
4 |
2000 |
|
Сырье 1 |
20 |
15 |
20 |
15000 |
|
Сырье 2 |
10 |
15 |
20 |
7400 |
|
Оборудование |
0 |
3 |
5 |
1500 |
|
Цена |
6 |
10 |
9 |
|
На основании информации приведенной в таблице найти оптимальное использование ресурсов на максимум общей стоимости.
Вариант 8
Предприятие выпускает 4 вида продукции и использует 3 типа основного оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Затраты на изготовление единицы продукции приведены в таблице; там же указан общий фонд рабочего времени, а также цена изделия каждого вида.
|
Тип |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Общий фонд |
|
|
|
||||
|
оборудования |
А |
Б |
В |
Г |
раб. времени |
|
|||
|
Токарное |
2 |
1 |
1 |
3 |
300 |
|
|||
|
Фрезерное |
1 |
0 |
2 |
1 |
70 |
|
|||
|
Шлифовальное |
1 |
2 |
1 |
0 |
340 |
|
|||
|
Цена изделия |
8 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|||
На основании информации приведенной в таблице найти оптимальное использование ресурсов на максимум общей стоимости.
Вариант 9
На предприятии выпускается три вида изделий, используется при этом три вида сырья:
|
Сырье |
Нормы затрат ресурсов на единицу продукции |
Запасы |
|
|
|||
|
|
А |
Б |
В |
сырья, кг |
|
||
|
I |
1 |
2 |
1 |
430 |
|
||
|
II |
3 |
0 |
2 |
460 |
|
||
|
III |
1 |
4 |
0 |
420 |
|
||
|
Цена |
3 |
2 |
5 |
|
|
||
На основании информации приведенной в таблице найти оптимальное использование ресурсов на максимум общей стоимости.
Вариант 10
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
|
Тип |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы |
|
|
|
||||
|
сырья |
А |
Б |
В |
Г |
сырья, кг |
|
|||
|
I |
2 |
1 |
0,5 |
4 |
2400 |
|
|||
|
II |
1 |
5 |
3 |
0 |
1200 |
|
|||
|
III |
3 |
0 |
6 |
1 |
3000 |
|
|||
|
Прибыль изделия |
7,5 |
3 |
6 |
12 |
|
|
|||
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет получена максимальная прибыль