ФГОУ ВПО «КУРГАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ Т.С. МАЛЬЦЕВА»

Кафедра вычислительной техники и информатики

Методические указания для практических работ

по дисциплине

«Моделирование социально-экономических систем»

(для студентов 4 курса экономического факультета отделения бухгалтерский учёт, анализ и аудит)

Лесниково-2010

Практическое занятие №1

Тема: Линейное программирование. Приемы моделирования.

Цель занятия: Научиться составлять экономико-математические модели

задач линейного программирования.

Вопросы по лекционному курсу:

1. Что изучает математическое программирование?

2. Как формулируется в общем виде математическая постановка экстремальной задачи?

3. Охарактеризуйте виды математического программирования.

4. Приведите экономико-математическую формулировку и модель общей задачи линейного программирования.

5. Дайте определение стандартной и канонической задачи линейного программирования.

6. Что такое допустимое решение (план), оптимальный план задачи линейного программирования?

7. Опишите последовательность составления экономико-математические модели задач линейного программирования

8. Как преобразовать ограничение-неравенство исходной задачи линейного програм­мирования в ограничение-равенство?

Примеры построения экономико-математических моделей задач линейного программирования

1 Запись условий при неизменяющихся объемах производственных ресурсов и

неизменяющихся технико-экономических коэффициентах

Пример: В крестьянском хозяйстве имеется 80 га пашни и 10 га сенокосов. Трудоспособные члены крестьянского хозяйства могут отработать в год 8000 чел.-час. : летом-2500, зимой-5500.

Хозяйство возделывает пшеницу, ячмень и однолетние травы на сено, содержит крупный рогатый скот. Затраты производственных ресурсов на 1 га посева и на 1 гол в год даны в таблице.

Таблица 1- Затраты производственных ресурсов

Культуры и виды животных	Урожайность, ц/га	Затраты труда, чел.-час			Затраты мат.-денеж. средств, тыс.руб.
		всего	летом	зимой
Пшеница	25,0	20	16	4	60
Ячмень	28,0	18	15	3	55
Однолетние травы	22,0	25	20	5	40
Коровы	-	250	100	150	300
Молодняк кр.рог.скота	-	80	20	60	220

Определяем переменные величины:

Х₁ – площадь посева пшеницы, га

Х₂ – площадь посева ячменя, га

Х₃ – площадь посева однолетних трав, га

Х₄ – поголовье коров, гол

Х₅ – поголовье молодняка крупного рогатого скота, гол

Математически ограничения можно записать следующим образом:

1. По использованию площади пашни, га х₁ + х₂+ х₂ 80

3. По использованию трудовых ресурсов летом, чел.-час

16х₁ + 15х₂ +20 х₃ +100х₄ +20 х₅ 2500

4. По использованию трудовых ресурсов зимой, чел.-час

4х₁ + 3х₂ +5 х₃ +150х₄ +60 х₅ 5500

2. Запись условий с изменяющимися объемами производственных ресурсов.

2.1 Запись условий с двухсторонними объемами

Предположим хозяйство должно произвести зерна не менее 1000 ц и не более 1400 ц.

5. По производству зерна не менее, ц 25х₁ +28 х₂ 1000

6. По производству зерна не более, ц 25х₁ +28х₂ 1400

2.2 Запись условий, когда имеется возможность увеличить тот или иной объем производственных ресурсов

Предположим, что после проведения определённого объёма агротехнических работ хозяйство может перевести в пашню не более 5 га сенокосов, но для этого оно должно затратить труда на 1 га 15 чел.-час., затраты материально-денежных средств-70 тыс.руб.

Вводим дополнительную переменную:

Х₆ – площадь сенокосов, переведённую в пашню, га

Тогда условие по использованию площади пашни и трудовым ресурсам должны быть записано следующим образом:

7. По использованию площади пашни, га х₁ + х₂+ х₃ 80+ х₆

х₁ + х₂+ х₃ - х₆ 80

8.По использованию площади сенокосов, переводимую в пашню, га

х₆ 5

9. По использованию трудовых ресурсов всего, чел.-час

20х₁ + 18х₂ +25 х₃ +250х₄ +80 х₅ +15 х₆ 8000

3 Запись условий, когда объемы производственных ресурсов не известны

Вводим дополнительную переменную:

Х₇ – общая сумма материально-денежных средств, тыс.руб

Ограничения:

10. По использованию материально-денежных средств, тыс.руб.

60х₁ + 55х₂ +40 х₃ +300х₄ +220 х₅ + 70 х₆ = х₇

60х₁ + 55х₂ +40 х₃ +300х₄ +220 х₅ + 70 х₆ - х₇ =0

4 Запись условий с помощью коэффициентов пропорциональности

Предположим, площадь посева однолетних трав должна занимать не более 30% от площади посевов

11.По площади посева однолетних трав, га

Х₃0,3(х₁ + х₂+ х₃)

-0,3х₁ - 0,3 х₂ +0,7 х₃ 0

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка «Колокольчик» и «Буратино». Для производства 1л. «Колокольчика» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для «Буратино» – 0,04 ч., а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 литр соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 часа работы оборудования. Доход от продажи 1л «Колокольчика» составляет 7 р., а «Буратино» - 5 р.

Определить ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.

Задача 2. Брокepy биржи клиент поручил разместить 100000 р. на фондовом рынке, сформировать портфель с ценными бумагами, чтобы получить максимальные годовые проценты с вложенного капитала. Выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций-акций А, В, С, Д, которые позволяют получить доход в размерах соответственно 6%, 8%, 10% и 9% годовых от вложенной суммы. При этом клиент поручил не менее половины инвестиций вложить в акции А и В. С целью обеспечения ликвидности не менее 25% общей суммы капитала нужно поместить в акции Д. Учитывая прогноз на изменение ситуации в будущем, в акции С можно вложить не более 20% капитала. Специфика налогообложения указывает на необходимость вложения в акции А не менее 30% капитала.

Определите распределение инвестиций капитала, обеспечивающего максимальный годовой процентный доход.

Задача 3.Предприниматель арендовал технологическую линию деревообрабатывающих станков для изготовления комплектов из трех элементов, определить общий объем потребляемой электроэнергии и количество изготовляемых элементов таким образом, чтобы получить максимальный доход от продажи комплектов. Данные приведены в таблице.

Ресурсы	Плановый фонд ресурсов	Нормативы затрат ресурсов на 1 элемент комплекта
		I	II	III
Затраты труда на производство, чел-ч.	80 000	36	37	22
Затраты электроэнергии, квт.час.	?	2,2	5,2	3,1
Товарооборот, руб.	300 000	30	38	24
Доход, руб.	-	140	210	315

Задача 4. Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Данные об организации перевозок следующие:

Поезда	Количество вагонов в поезде
	багажный	почтовый	плацкарт	купейный	мягкий
Скорый	1	1	5	6	3
Пассажирский	1	-	8	4	1
Число пассажиров	-	-	58	40	32
Парк вагонов	12	8	81	70	26

Сколько должно быть сформировано скорых и пассажирских поездов, чтобы перевести наибольшее количество пассажиров.

Задача 5. Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 10 000 клеток. В одной клетке могут быть либо две лисы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее 3000 лис и 6000 песцов. В одни сутки необходимо выдавать каждой лисе корма — 4 ед., а каждому песцу - 5 ед. Ферма ежедневно может иметь не более 200 000 единиц корма. От реализации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 д.ед., а от реализации одной шкурки песца — 5 д.ед. Какое количество лисиц и песцов нужно держать на ферме, чтобы получить наибольшую прибыль?

Задача 6. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить питательных веществ, содержащихся во фруктах, в количествах, указанных в таблице. Определите, какое количество фруктов каждого вида необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предписание врача с минимальными расходами.

Вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг фруктов			Нормы потребления, г
	клубника	яблоки	смородина
р1	3	2	1	30
р2	1	3	4	70
р3	0	0	5	40
р4	1	0	1	50
Цена, р.за 1 кг	1,0	0,5	0,8

Вариант № 7 .

Хлебозавод имеет возможность производить различные хлебобулочные изделия. Нормы затрат различных типов сырья, их наличие и стоимость единицы продукции каждого вида приведены ниже:

Сырье	Нормы затрат				Наличие, кг
	Хлеб «Бородинский»	Хлеб «Жито»	Батон «Чайный»	Батон «Городской»
Мука пшеничная	0,2	0,15	0,4	0,35	500
Мука ржаная	0,25	0,3	-	-	250
Яйца	0,02	0,025	0,04	0,035	100
Масло	0,01	0,03	0,1	0,15	200
Дрожжи	0,005	0,005	0,01	0,01	15
Вес изделия	0,65	0,85	0,7	0,6
Стоимость 1 изделия	7	8	9	8

После проведения маркетинговых исследований установлено, что ежедневный спрос на «Бородинский» хлеб колеблется в пределах от 150 до 300 кг; спрос на хлеб «Жито» меняется соответственно от 300 до 450 кг; на батон «Чайный» - от 200 до 300 кг; на батон «Городской» от 200 до 400 кг.

Определить оптимальный ежедневный объем выпускаемой хлебобулочной продукции, обеспечивающий максимальную ее стоимость.

Вариант № 8 .

Владелец сети салонов-парикмахерских предполагает открыть еще один центр красоты. Все готово, остается принять на работу соответствующих специалистов. Предполагается наличие парикмахеров, косметологов, маникюрный и тренажерный зал. Окупаемость соответствующих процедур и заработная плата соответствующих специалистов следующая:

% прибыли в час	услуга
	парикмахер	маникюр	косметолог	тренажеры
	0,05	0,07	0,14	0,06
Зарплата, руб.	3 000	3 800	8 000	2 500

Предполагается, что салон будет открыт 12 часов в день без выходных (все залы), причем смены парикмахеров, маникюрщиц и косметологов составляют по 6 часов 5 дней в неделю, тренеров в спортивном зале – по 4 часа 5 раз в неделю. Инвестор планирует сумму для оплаты работы персонала не более 85000 руб. в месяц.

Рассчитать оптимальный штат работников, при условии, что в парикмахерском зале должно присутствовать как минимум 2 мастера (но, не более 4) и не менее 1 маникюрщицы (но, не более 2), в косметическом зале не более 2 косметологов. Каждый работник, сверх запланированного штата, обеспечивает салону прибыль по соответствующей процедуре в 2 раза меньшую, по сравнению с исходной (т.к. спрос на процедуры ограничен).

Рассчитать необходимое количество работников для получения максимальной прибыли салону за месяц (4 недели).