Практическое занятие № 6,7

Тема: Транспортная задача линейного программирования

Цель занятия: Получить навыки решения транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов

Вопросы по лекционному курсу:

1.Каков признак оптимальности в транспортной задаче?

2.Как строится первый опорный план?

3.Как определяются потенциалы строк и столбцов?

4.Как определяется характеристика свободной клетки?

Теоретическое введение

Стандартная транспортная задача определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции однородного груза из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Целевая функция представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом.

Первая группа (1) ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта.

Вторая группа (2) ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворять спрос на продукцию в этом пункте.

Рассмотрим вариант стандартной транспортной задачи

Решение транспортных задач методом потенциалов

Пример:

С двух складов нужно перевезти однородный груз в три магазина.

На I складе имеется 1800 т груза;

На II складе имеется 2600 т груза.

В магазин № 1 нужно доставить 1000 т;

В магазин № 2 нужно доставить 1200 т;

В магазин № 3 нужно доставить 2200 т.

Таблица - Тариф (стоимость) перевозки 1 т груза, тыс. руб.

Склады	магазины
	№1	№2	№3
I	2	2	3
II	3	4	2

Требуется определить такой план перевозок, при котором весь груз будет доставлен в указанных количествах в каждый магазин с минимальными затратами на перевозку.

Обозначим Xij – количество груза, которое необходимо перевезти от i – го поставщика (склада) к j – му потребителю (магазину)

i = 1,2

j = 1,2,3.

X₁₁ – объем груза, перевозимого c I склада в магазин № 1, т;

Х₁₂ - объем груза, перевозимого cо I склада в магазин № 2, т;

Х₁₃ - объем груза, перевозимого c I склада в магазин № 3, т;

Х₂₁ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 1, т;

Х₂₂ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 2, т;

Х₂₃ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 3, т.

Ограничения:

1. по возможности I склада, т х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ = 1800

2. по возможности II склада, т х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 2600

3. по потребности магазина № 1, т х₁₁ + х₂₁ = 1000

4. по потребности магазина № 2, т х₁₂ + х₂₂ = 1200

5. по потребности магазина № 3, т х₁₃ + х₂₃ = 2200

4400 т = 4400 т

Целевая функция

F(x) = 2х₁₁ + 2х₁₂ + 3х₁₃ + 3х₂₁ + 4х₂₂ + 2х₂₃ →min

Решение:

Вначале принимается исходный вариант перевозок, а затем последовательно производится его улучшение до получения оптимального плана.

Для получения первоначального исходного плана перевозок используем правило «северо-западного» угла, т.е. вначале максимально допустимое количество груза помещается в верхнюю левую клетку 91 строка 1 столбец, затем заполняется соседняя клетка и т.д. до распределения всего количества груза.

При этом количество занятых клеток составит:

m + n – 1 = 2 + 3 – 1 = 4 , где

m – количество поставщиков:

n – количество потребителей.

Первоначальный план представлен в таблице 1.

Таблица 1

Склады	магазины			Запас Qi
	№1	№2	№3
I	2 1000	2 800	3	1800
II	3	4 400	2 2200	2600
Спрос bj	1000	1200	2200	4400=4400

х₁₁ = 1000 т х₂₂ = 400 т

х₁₂ = 800 т х₂₃ = 2200 т

F (x) = 2*1000 + 2*800 + 4*400 + 2*2200 = 9200 т. р

Исследуется план на оптимальность следующим образом:

Таблица 1

Склады	магазины			Запас Qi
	№1	№2	№3
I	2 1000 —	2 + 800	3	1800	i = 1
Kj;iiII	+ 3	— 4 400	2 2200	2600	i = 2
Спрос bj	1000	1200	2200	4400
	j = 1	j = 2	j = 3

По каждой строке и столбцу определяют потенциалы по формуле:

Для занятых клеток (1.1) (1.2) (2.2) (2.3)

Vj + Ui = Cij

Vj – потенциал столбца

Ui – потенциал строки

Cij – тариф (показатель) занятой клетки

1.1) V₁ + U₁ = 2 V₁ = 2 U₁ = 0

1.2) V₂ + U₁ = 2 V₂ = 2

2.2) V₂ + U₂ = 4 U₂ = 2

2.3) V₃ + U₂ = 2 V₃ = 0

Для свободных клеток (1.3) (2.1) определяется характеристика по формуле

dij= Cij — (Vj + Ui)

dij – характеристика свободной клетки

Vj – потенциал столбца

Ui – потенциал строки

Cij – тариф свободной клетки

При решении задачи на min целевой функции dij  0

1.3) d_1.3= 3 — (V₃ + U₁) = 3 — (0 — 0) = + 3

2.1) d_2.1= 3 — (V₁ + U₂) = 3 — (2 + 2) = — 1

т.к. d_2.1 = — 1, следовательно план в табл. 1 не оптимальный улучшаем его путем сдвига по циклу

4) План улучшается за счет клетки с отрицательной характеристикой 2.1)

Для этого: в цикле кл. 2.1 просматривают объемы в отрицательных вершинах (1000 и 400) и выбирают наименьший (400), производят сдвиг по циклу . Этот наименьший оъем к объемам в положительных вершинах прибавляют, а от объемов в отрицательных вершинах вычитают, т.е. получим новый план в табл. 2

Получим новый план в табл. 2

Таблица 2

Склады	Магазины			Запас Qi
	№1	№2	№3
I	2 600	2 1200	3	1800
II	3 400 +	4	2 2200	2600
Спрос bj	1000	1200	2200	4400

х₁₁ = 600 т х₂₂ = 400 т

х₁₂ = 1200 т х₂₃ = 2200 т

F (x) = 2*600 + 2*1200 + 3*400 + 2*2200 = 9600 т. руб

Занятые клетки:

1.1) V₁ + U₁ = 2 V₁ = 2 U₁ = 0

1.2) V₂ + U₁ = 2 V₂ = 2

2.2) V₁ + U₂ = 3 U₂ = 1

2.3) V₃ + U₂ = 2 V₃ = 1

Для свободн. клеток

d_1.3= 3 — (V₃ + U₁) = 3 — (1 — 0) = + 2

d_2.2= 4 — (V₂ + U₂) = 4 — (2 + 1) = + 1

т.к. dij  0, то план во 2 таблице оптимальный.

Анализ оптим. плана

Груз с I склада 1800 т будет доставлен:

600 т в магазин 1

1200 т в магазин 2

а со II склада 2600 т будет доставлен

400 т в магазин 1

2200 в магазин 3

При этом спрос магазинов будет удовлетворен:

в магазине 1000 т;

в магазине 2 1200 т;

в магазине 3 2200 т.

Затраты на перевозку составят 9200 т. руб.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.Решить минимизируя линейную форму

Поставщики	Потребители			Запасы
	В1	В2	В3
А1	2	3	5	50
А2	8	1	4	30
А3	6	5	2	70
Спрос	60	40	50

Задача 2.Решить минимизируя линейную форму

Поставщики	Потребители				Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	6	7	2	4	110
А2	15	14	13	10	110
А3	7	11	8	5	110
Спрос	97	144	66	23

Задача 3.Решить минимизируя линейную форму

Поставщики	Потребители				Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	1	2	3	4	60
А2	4	3	2	0	80
А3	0	2	2	1	100
Спрос	40	60	80	60

Задача 4.Решить минимизируя линейную форму

Поставщики	Потребители				Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	21	14	27	15	125
А2	7	20	13	11	145
А3	10	11	14	12	25
Спрос	115	65	75	40

Задача 5.Решить минимизируя линейную форму

Поставщики	Потребители			Запасы
	В1	В2	В3
А1	5	10	12	2800
А2	8	7	5	1900
А3	4	3	7	700
	15	12	8	600
Спрос	3500	1800	700