- •Методические указания для студентов экономической специальности заочной и ускоренной форм обучения
- •Содержание
- •Часть 1. Программа курса
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
- •2. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •3. Функции нескольких переменных.
- •4. Интегральное исчисление.
- •5. Дифференциальные уравнения.
- •6. Ряды.
- •7. Теория вероятностей.
- •8. Рекомендуемая литература.
- •Часть 2. Методические указания по самостоятельной работе
- •1. Чтение учебника.
- •2. Решение задач.
- •3. Самопроверка.
- •4. Консультации.
- •5. Контрольные работы.
- •6. Лекции и практические занятия.
- •7. Зачеты и экзамены.
- •Часть 3. Требования к оформлению контрольной работы
- •Часть 4. Контрольные задания
- •1.1. Контрольная работа № 1. «Аналитическая геометрия и векторная алгебра».
- •1.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи на плоскости
- •Различные виды уравнения прямой на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •2. Элементы векторной алгебры.
- •3. Аналитическая геометрия в пространстве. Различные виды уравнения плоскости
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Взаимное расположение прямой с плоскостью
- •1.3. Образец решения контрольной работы № 1.
- •2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».
- •2.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Теория пределов Основные понятия
- •Основные теоремы о действиях над функциями, имеющими конечный предел
- •Важные исключения из теоремы
- •Замечательные пределы
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Основные правила дифференцирования
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Применение производной
- •3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Явное задание функции
- •Неявное задание функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремум функции двух переменных
- •2.3. Образец решения контрольной работы № 2.
- •3.1. Контрольная работа № 3. «Интегральное исчисление».
- •3.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2. Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла в геометрии
- •3.3. Образец решения контрольной работы № 3.
- •4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».
- •4.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Ряды Числовые ряды Основные понятия
- •Положительные числовые ряды
- •Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
- •Функциональные ряды Основные понятия
- •4.3. Образец решения контрольной работы № 4.
- •5.1. Контрольная работа № 5. «Теория вероятностей».
- •5.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Случайные события
- •Операции над событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Аксиомы теории вероятностей
- •Свойства вероятности
- •2. Случайные величины Дискретные случайные величины
- •Законы распределения дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3. Образец решения контрольной работы № 5.
- •Список литературы
Законы распределения непрерывной случайной величины
20. Равномерное распределение: , , .
21. Показательное распределение: , .
22. Нормальное распределение: , , где – функция Лапласа, , , .
5.3. Образец решения контрольной работы № 5.
Задание 1. На заочном отделении 80% всех студентов работают по специальности. Какова вероятность того, что из трёх отобранных случайным образом студентов по специальности работают: а) один; б) два; в) все; г) никто; д) хотя бы один студент?
Решение. Вероятность выбрать студента, работающего по специальности, равна p = 0,8, а вероятность выбрать неработающего студента равна q = 1 – p = 0,2. Так как отбирают 3 студентов, то n = 3.
а) Пусть событие А – «среди 3-х отобранных студентов только один работает по специальности», тогда вероятность этого события по формуле Бернулли равна .
б) По формуле Бернулли вероятность события В – «среди 3-х отобранных студентов два студента работают по специальности» равна .
в) Вероятность события С – «все трое отобранные студенты работают по специальности» равна .
г) Событие D – среди 3-х отобранных студентов никто не работает по специальности имеет вероятность .
д) Вероятность события Е – среди 3-х отобранных студентов работает по специальности хотя бы один студент вычислим по формуле , где противоположное событие – никто из 3-х отобранных студентов не работает по специальности. Так как (см. г)), то получим .
Ответ: а) 0,096; б) 0,384; в) 0,512; г) 0,008; д) 0,992.
Задание 2. Электролампы изготавливают на трех заводах. Первый завод производит 35 % общего количества электроламп, второй – 50 % и третий – 15 %. Продукция первого завода содержит 70 % стандартных ламп, второго – 80 % и третьего – 90 %. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что а) наудачу взятая лампа является стандартной; б) стандартная электролампа изготовлена на втором заводе?
Решение. Пусть событие А – купленная в магазине лампа является стандартной. Введем гипотезы: Н1 – наудачу взятая лампа изготовлена на первом заводе, Н2 – наудачу взятая лампа изготовлена на втором заводе и Н3 – наудачу взятая лампа изготовлена на третьем заводе. Вероятности гипотез по условию равны: P(H1)=0,35, P(H2)=0,5 и P(H3)=0,15. События Н1, Н2, Н3 являются несовместимыми и образуют полную группу, сумма их вероятностей равна единице: 0,35+0,5+0,15=1. Из условия следует, что , и .
а) Согласно формулы полной вероятности, вероятность искомого события А равна .
б) Переоценим гипотезу Н2 по формуле Байеса после того, как стало известно, что событие А произошло: .
Ответ: а) 0,78; б) .
Задание 3. Каждый из трех клиентов, взявший кредит в банке, может вернуть его раньше срока с вероятностью 0,4. 1) Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа клиентов, вернувших кредит в банк раньше срока; 2) построить многоугольник распределения вероятностей; 3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х.
Решение. Испытание состоит в попытке возвращения кредита раньше срока. В испытании может произойти или не произойти событие А – возвращение кредита раньше срока. Вероятность наступления события А равна P(A) = 0,4, тогда вероятность не наступления этого события равна q = 1 – 0,4 = 0,6. Рассматриваемая случайная величина Х в результате испытания может принять одно из следующих значений: 0, 1, 2 или 3.
Вероятности этих значений вычислим по формуле Бернулли:
;
;
;
.
1) Таким образом, случайная величина Х имеет следующий закон распределения вероятностей:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
Р |
0,216 |
0,432 |
0,288 |
0,064 |
|
Контроль: 0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1.
2) Строим многоугольник распределения вероятностей.
3) Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:
М(Х) = np = 30,4 = 1,2;
D(X) = npq = 30,40,6 = 0,72;
.
Ответ: |
1) |
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
3) |
M(X) = 1,2; D(X) = 0,72; |
|
|
Р |
0,216 |
0,432 |
0,288 |
0,064 |
|
|
.
Задание 4. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения Найти: 1) плотность распределения f(х); 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 3) построить графики функций F(x) и f(х).
Решение.
1) Воспользуемся определением дифференциальной функции. При x 0 и при x > 2 имеем . При 0 < x 2 . Таким образом, величина Х имеет следующую дифференциальную функцию:
2) Найдем числовые характеристики случайной величины Х. Математическое ожидание равно: .
Дисперсия равна .
Среднее квадратическое отклонение равно .
3) Строим графики функций F(x) и f(х):
Ответ: 1) 2) , , .
5. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х: Найти неизвестный параметр С.
Решение. Для определения неизвестного коэффициента С воспользуемся свойством плотности распределения вероятности : , откуда . Так как , то .
Ответ: С = 7.