- •Методические указания для студентов экономической специальности заочной и ускоренной форм обучения
- •Содержание
- •Часть 1. Программа курса
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
- •2. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •3. Функции нескольких переменных.
- •4. Интегральное исчисление.
- •5. Дифференциальные уравнения.
- •6. Ряды.
- •7. Теория вероятностей.
- •8. Рекомендуемая литература.
- •Часть 2. Методические указания по самостоятельной работе
- •1. Чтение учебника.
- •2. Решение задач.
- •3. Самопроверка.
- •4. Консультации.
- •5. Контрольные работы.
- •6. Лекции и практические занятия.
- •7. Зачеты и экзамены.
- •Часть 3. Требования к оформлению контрольной работы
- •Часть 4. Контрольные задания
- •1.1. Контрольная работа № 1. «Аналитическая геометрия и векторная алгебра».
- •1.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи на плоскости
- •Различные виды уравнения прямой на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •2. Элементы векторной алгебры.
- •3. Аналитическая геометрия в пространстве. Различные виды уравнения плоскости
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Взаимное расположение прямой с плоскостью
- •1.3. Образец решения контрольной работы № 1.
- •2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».
- •2.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Теория пределов Основные понятия
- •Основные теоремы о действиях над функциями, имеющими конечный предел
- •Важные исключения из теоремы
- •Замечательные пределы
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Основные правила дифференцирования
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Применение производной
- •3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Явное задание функции
- •Неявное задание функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремум функции двух переменных
- •2.3. Образец решения контрольной работы № 2.
- •3.1. Контрольная работа № 3. «Интегральное исчисление».
- •3.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2. Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла в геометрии
- •3.3. Образец решения контрольной работы № 3.
- •4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».
- •4.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Ряды Числовые ряды Основные понятия
- •Положительные числовые ряды
- •Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
- •Функциональные ряды Основные понятия
- •4.3. Образец решения контрольной работы № 4.
- •5.1. Контрольная работа № 5. «Теория вероятностей».
- •5.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Случайные события
- •Операции над событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Аксиомы теории вероятностей
- •Свойства вероятности
- •2. Случайные величины Дискретные случайные величины
- •Законы распределения дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3. Образец решения контрольной работы № 5.
- •Список литературы
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Производной функции в точке x0 называется предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента x, когда , т. е. .
Таблица производных
2. . 3. .
4. . 5. .
6. . 7. .
8. . 9. .
10. . 11. .
12. . 13. .
14. . 15. .
16. .
Основные правила дифференцирования
17. . 18. .
19. . 20. .
21. .
Геометрический смысл производной
22. Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту (т. е. тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке (рис. 7). Уравнение касательной: . Уравнение нормали:
Рис. 7
Механический смысл производной
23. Производная от функции в точке численно равна скорости изменения функции в момент .
24. Если функция задана параметрически уравнениями то производная вычисляется по формуле: . Вторая производная находится по формуле: .
25. Если функция задана неявно уравнением , то для нахождения ее производной дифференцируют обе части этого уравнения, считая сложной функцией от и полученное уравнение разрешают относительно .
Применение производной
26. Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция возрастает; если , то функция убывает.
27. Если функция непрерывна в точке и в левой ее окрестности , а в правой , то в точке функция имеет максимум; если в левой окрестности , а в правой , то в точке функция имеет минимум.
28. Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция вогнута; если , то функция выпукла.
29. Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка – точка перегиба.
30. Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке нужно:
а) найти критические точки – точки, в которых производная функции , не существует или равна бесконечности;
б) найти значения функции в критических точках, принадлежащие отрезку и на концах отрезка;
в) выбрать среди полученных чисел наибольшее или наименьшее.
31. Для исследования функции и построения ее графика пользуются следующей схемой:
а) определяется область определения функции, находятся точки разрыва, определяется их характер, находятся вертикальные асимптоты, если они есть;
б) проверяется четность, нечетность, периодичность графика, поведение его при (или на границах области определения, если она ограничена); определяется наличие невертикальных асимптот вида , для чего числа k и b находятся по формулам: , , если оба эти предела существуют и конечны;
в) находится производная , определяются интервалы возрастания , убывания и критические точки ( или не существует) функции, находятся экстремумы;
г) находится вторая производная , определяются интервалы выпуклости вверх , выпуклости вниз и точки перегиба графика;
д) если необходимо, находятся дополнительные точки.
Сведя всю полученную информацию в таблицу, строят график функции .
3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Явное задание функции
1. Если , а и , то . В частности, если , а совпадает с одним из аргументов, например, , то .
2. Если , а и , то и . Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.