2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».
1. Найти пределы функций.
1. 1) 
при:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
; 3) 
.
2. 1) 
при: а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
; 3) 
.
3. 1) 
при: а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
; 3) 
.
4. 1) 
при: а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
;
3) 
.
5. 1) 
при: а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
; 3) 
.
6. 1) 
при: а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
; 3) 
.
7. 1) 
при: а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
; 3) 
.
8. 1) 
при: а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
; 3) 
.
9. 1) 
при: а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
; 3) 
.
10. 1) 
при:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) 
; 3) 
.
2. Найти производные заданных функций.
1. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
2. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
3. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
4. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
5. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
6. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
7. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
8. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
9. 1) 
; 2) 
;
3)
.
10. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
3. Провести полное исследование функции и построить ее график.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
4. Доказать, что функция z = f(x; y) удовлетворяет данному уравнению.
1. 
,
если
.
2. 
,
если
.
3. 
,
если
.
4. 
,
если
.
5. 
,
если
.
6. 
,
если
.
7. 
,
если
.
8. 
,
если
.
9. 
,
если
.
10. 
,
если
.
2.2. Основные теоретические сведения.
1. Теория пределов Основные понятия
1. Постоянное
число l
есть предел
функции y = f(х):
или
,
если для любого сколь угодно малого
числа > 0
существует число > 0,
зависящее от
такое, что из выполнения неравенства
следует неравенство
.
2. Если
существует
и x < a,
то он называется пределом
слева:
.
Аналогично, если существует
и x > a,
то он называется пределом
справа:
.
Эти пределы называются односторонними
пределами.
3. Функция
(x)
называется бесконечно
малой функцией
при х → а,
если
.
Аналогично, функция (х)
называется бесконечно
большой при
х → а,
если
.
4. Если
(x)
– бесконечно малая функцией при х → а,
то
– бесконечно большая функция при х → а;
если (x)
– бесконечно большая функцией при
х → а,
то
– бесконечно малая функция при х → а.
Основные теоремы о действиях над функциями, имеющими конечный предел
5. Пусть
,
,
где l1,
l2
– конечные, тогда:
1) 
;
2) 
;
3) 
при
;
4) 
;
5) Если
n
– натуральное число, то
;
6) Если
n
– натуральное число, то
;
7) Правило
замены переменной.
Пусть требуется найти предел сложной
функции y = f((x))
при x → a.
Тогда если существует
и существует
,
то справедлива формула
.
Важные исключения из теоремы
6) Если
и
,
то частное
при x → a
называется неопределенностью вида
.
7) Если
и
,
то разность f(x)
– g(x)
при x → a
называется неопределенностью вида (
– ),
а частное
при x → a
называется неопределенностью вида
.
8) Если
и
,
то произведение f(x)g(x)
при x → a
называется неопределенностью вида
(0).
Существуют и другие виды неопределенностей.
Замечательные пределы
9) Первый
замечательный предел:
.
10) Основные следствия из первого замечательного предела:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
.
11) Второй
замечательный предел:
.
12) Основные следствия из второго замечательного предела:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) 
;
17) 
.