- •Методические указания для студентов экономической специальности заочной и ускоренной форм обучения
- •Содержание
- •Часть 1. Программа курса
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
- •2. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •3. Функции нескольких переменных.
- •4. Интегральное исчисление.
- •5. Дифференциальные уравнения.
- •6. Ряды.
- •7. Теория вероятностей.
- •8. Рекомендуемая литература.
- •Часть 2. Методические указания по самостоятельной работе
- •1. Чтение учебника.
- •2. Решение задач.
- •3. Самопроверка.
- •4. Консультации.
- •5. Контрольные работы.
- •6. Лекции и практические занятия.
- •7. Зачеты и экзамены.
- •Часть 3. Требования к оформлению контрольной работы
- •Часть 4. Контрольные задания
- •1.1. Контрольная работа № 1. «Аналитическая геометрия и векторная алгебра».
- •1.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи на плоскости
- •Различные виды уравнения прямой на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •2. Элементы векторной алгебры.
- •3. Аналитическая геометрия в пространстве. Различные виды уравнения плоскости
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Взаимное расположение прямой с плоскостью
- •1.3. Образец решения контрольной работы № 1.
- •2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».
- •2.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Теория пределов Основные понятия
- •Основные теоремы о действиях над функциями, имеющими конечный предел
- •Важные исключения из теоремы
- •Замечательные пределы
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Основные правила дифференцирования
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Применение производной
- •3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Явное задание функции
- •Неявное задание функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремум функции двух переменных
- •2.3. Образец решения контрольной работы № 2.
- •3.1. Контрольная работа № 3. «Интегральное исчисление».
- •3.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2. Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла в геометрии
- •3.3. Образец решения контрольной работы № 3.
- •4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».
- •4.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Ряды Числовые ряды Основные понятия
- •Положительные числовые ряды
- •Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
- •Функциональные ряды Основные понятия
- •4.3. Образец решения контрольной работы № 4.
- •5.1. Контрольная работа № 5. «Теория вероятностей».
- •5.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Случайные события
- •Операции над событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Аксиомы теории вероятностей
- •Свойства вероятности
- •2. Случайные величины Дискретные случайные величины
- •Законы распределения дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3. Образец решения контрольной работы № 5.
- •Список литературы
5.2. Основные теоретические сведения.
1. Случайные события
1. Событие есть результат любого опыта или испытания. Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти при осуществлении данного комплекса условий. Событие называется достоверным, если оно появится всякий раз при осуществлении данного комплекса условий. Событие, которое заведомо не может произойти при осуществлении данного комплекса условий, называется невозможным.
Операции над событиями
2. Событие A влечет событие B (A подмножество B), если из того, что происходит событие A, следует, что происходит событие B; записывают AB.
3. Если одновременно AB и BA, то события A и B называются равными (эквивалентными); записывают A=B.
4. Противоположным (или дополнением) событию A называется событие (U\A), которое заключается в непоявлении события A.
5. Суммой (или объединением) событий A и B называется событие A+B (или A∪B), состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
6. Разностью событий A и B называется событие A–B (или A\B), происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B.
7. Произведением (или пересечением) событий A и B называется событие AB (или A∩B), состоящее в совместном появлении этих событий.
8. Свойства операций над событиями:
A+B=B+A (переместительное), AB=BA (переместительное),
(A+B)C=AC+BC (распределительное),
AB+C=(A+C)(B+C) (распределительное),
(A+B)+C=A+(B+C) (сочетательное), (AB)C=A(BC) (сочетательное),
A+A=A, AA=A, A+U=U,
A+V=A, AU=A, AV=V,
A+=U, A=V, =V,
=U, =A, A–B=A,
A–A=V, , (законы де Моргана).
Элементы комбинаторики
9. Правило суммы. Если из некоторого конечного множества первый объект (или элемент) x можно выбрать n способами, а другой объект y из того же множества можно выбрать m способами, то их сумму x+y (либо x, либо y) можно выбрать k=n+m способами.
10. Правило умножения. Если из некоторого конечного множества первый объект x можно выбрать n способами и после каждого такого выбора другой объект y из того же множества можно выбрать m способами, то оба объекта xy (и x, и y) можно выбрать k=nm способами.
11. Размещениями из n элементов по k элементов (0<k<n) называются выборки, которые отличаются друг от друга либо хотя бы одним элементом, либо их порядком в выборке. Число размещений из n элементов по k элементов обозначается символом и вычисляется по формуле .
12. Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n элементов, т. е. перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов в выборке. Число перестановок из n элементов обозначается символом и вычисляется по формуле .
13. Сочетаниями из n элементов по k элементов (0<k<n) называются выборки, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом и вычисляется по формуле .
Аксиомы теории вероятностей
14. Аксиома неотрицательности: с каждым событием A связывается число P(A), называемое вероятностью события A и удовлетворяющее условию 0P(A)1.
15. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единицы, т. е. P(U)=1.
16. Аксиома сложения: если событие A подразделяется на конечное число попарно несовместимых событий (A=A1+A2+…+An и AiAj=V при ij), то вероятность этого события равна P(A)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) – принцип сложения вероятностей несовместимых событий.
17. Обобщенная аксиома сложения: если событие A подразделяется на бесконечную сумму попарно несовместимых событий (A=A1+A2+…+An+… и AiAj=V при ij), то вероятность этого события равна P(A)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…. .
18. Вероятность события A относительного события B называется условной вероятностью события A относительно B. Она обозначается PB(A) или P(A|B) и вычисляется по формуле PB(A)= при P(B)0. Так как зависимость двух случайных событий A и B всегда взаимна, то справедлива и другая формула PA(B)= при P(A)0.
19. P(AB)=P(A)PA(B)=P(B)PB(A). – принцип умножения вероятностей зависимых событий.