3.1. Векторное произведение двух свободных векторов

Определение. Векторным произведением двух векторов называется вектор такой, что а) – угол между векторами , б) в) если , то векторы , образуют правую тройку. Векторное произведение обозначается

Согласно условию а) тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Поэтому для множества векторов пространства R¹ векторное произведение будет состоять только из одного нулевого вектора. Если же , то численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах , приведенных к общему началу (рис.2.7). Следует отметить, что в отличие от скалярного произведения являющегося отображением в R, векторное произведение, как и сложение, представляет внутренний закон композиции для пространства свободных векторов R³.

Основные свойства векторного произведения сводятся к следующим:

1. – не коммутативно;

2.

3. – дистрибутивно относительно сложения;

4. Нейтрального элемента не существует.



Рис. 2.7

Рассмотрим, как векторное произведение представляется в координатной форме.

Раскрывая скобки и учитывая, что

а получаем

Отсюда (6.2)

Здесь , координаты вектора .

3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов

Определение. Если вектор умножить скалярно на вектор , то полученное число называется смешанным произведением трех векторов и . Обозначается .

Нетрудно показать, что абсолютное значение смешанного произведения трех векторов равно объему V_p параллелепипеда, построенного на этих векторах, т.е.= V_p . Действительно, – площадь S параллелограмма, построенного на векторах , а – высота h параллелепипеда, основанием которого есть параллелограмм площадью S, так как и . Следовательно, = V_p –объем параллелепипеда.

Выразим смешанное произведение (и объем V_p параллелепипеда) через координаты векторов. С учетом (6.2), а также, что и получаем

= ·

= и V_p =

Таким образом, абсолютное значение определителя третьего порядка равно объему параллелепипеда, построенного на трех векторах, координаты которых в единичном ортонормированном базисе являются вектор-строками соответствующей матрицы и, соответственно, элементами строк определителя. В принципе, координаты векторов можно располагать и по столбцам матрицы (определителя), так как значение определителя при транспонировании матрицы не изменяется. Отсюда можно сделать следующее заключение.

Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы, заданной координатами этих векторов, в ортонормированном базисе был равен нулю.

Понятие параллелепипеда и определителя как его объема, распространяется на векторное пространство Rⁿ, размерность которого n > 3. Аналогичное образование из n векторов пространства Rⁿ и множества точек этого пространства, заключенных в границах этих векторов, рассматриваемых как объем, ограниченных этими векторами, называется параллелотопом.

Пусть параллелотоп образован n векторами , разложение которых по каноническому базису пространства Rⁿ имеет вид тогда объем такого параллелотопа равен абсолютному значению определителя D(А), где А – квадратная матрица, у которой являются вектор-столбцами (вектор-строками), т.е.

.