5.2. Основные свойства базиса

Пусть есть любой вектор из К размерности n; так как он линейно зависит от базиса , то в Р найдутся такие числа  _ . . ., _n, не все равные нулю, что . При этом   , ибо в противном случае были бы линейно зависимы. Так как Р есть поле, то существует . После умножения на получим: , где , i =1,2,...,n.

Таким образом, векторное пространство К порождено базисом , а данное выражение называется разложением вектора по базису . Числа называются компонентами (координатами) вектора в базисе .

Теорема. (Основное свойство базиса) Представление любого вектора из пространства К через его базис единственно, или другими словами, в заданном базисе компоненты вектора определяются однозначно.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна и вектор в базисе имеет различные компоненты и . Тогда вычитая эти равенства, получим . Поскольку вектора линейно независимы, то и отсюда .

Замечание. Один и тот же вектор в различных базисах имеет разные компоненты.

В качестве наглядного примера рассмотрим пространство свободных векторов.

5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов

Выберем систему, состоящую из трех упорядоченных свободных векторов . Случай, когда эта система векторов линейно зависима, нами уже рассмотрен в предыдущем параграфе п.4.5. Теперь рассмотрим ситуацию, когда система из трех векторов линейно независима, т.е. это упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Теорема. Присоединение любого свободного вектора к системе из трех некомпланарных свободных векторов делает ее линейно зависимой, или другими словами: любой свободный вектор является линейной комбинацией трех упорядоченных некомпланарных векторов и это представление единственно. Тем самым мы установим, что совокупность трех упорядоченных некомпланарных векторов является базисом пространства свободных векторов и его размерность равна трем.

Доказательство. Отложим все векторы , от одной и той же точки А:. Пусть F – проекция точки В₄ на плоскость АВ₁В₂ параллельно прямой АВ₃, а Q – проекция точки F на прямую АВ₁ параллельно прямой АВ₂. Тогда Векторы соответственно коллинеарны векторам . Полагая получим и, следовательно, , т.е. векторы , линейно зависимы.

Таким образом, базис пространства свободных векторов состоит из трех упорядоченных некомпланарных векторов. Если в качестве базисных векторов выбрать три упорядоченных вектора, которые изображаются направленными отрезками, параллельными соответственно трем осям прямоугольной декартовой системы координат x, y, z и модуль каждого вектора равен масштабному отрезку этих осей, то такой базис называется ортонормированным базисом. Первые два базисных вектора, как и на плоскости, обозначают , а третий базисный вектор, параллельный оси Oz, обозначается , и называются эти вектора ортами. Координаты этих векторов будут: . Такой выбор базисных векторов обусловлен тем, что в разложении любого вектора по ортонормированному базису , коэффициентами разложения являются координаты x,y,z вектора : =.

Рассмотрим выражение скалярного произведения двух векторов и , разложенных по ортонормированному базису, т.е. и . Тогда

=

. Но так как – попарно перпендикулярные (ортогональные) вектора и модуль их равен единице, то

, значит = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат только в том случае, если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе.