Упражнения

1. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения множеств.

2. Является ли множество Q рациональных чисел, на котором задана операция умножения группой?

3. Является ли множество Q полем, если:

а) на этом множестве в качестве первого закона задан закон умножения, а второй – сложение?

б) первый закон – сложение, второй – умножение?

2. Вычислить

3. Найти действительные значения х и у из уравнения

(1 + i) x² + (2 + i) x – (1 – i) y = 7(1 + i).

2. Какой геометрический смысл имеет модуль разности двух комплексных чисел? Определить этот модуль для z = 3 + i2 и . Изобразить эти точки на комплексной плоскости.

3. Найти все корни и построить их на комплексной плоскости:

4. Решить уравнения:

а) 2x² – 3x + 7 = 0, б) cos x = 3, в) sin x = 2.

2. Найти корни уравнения z⁸ – 2z⁴ + 4 = 0 и построить их на комплексной плоскости.

3. Представить в показательной форме комплексные числа:

1 + i, –1 + i, –5, + i.

2. Разделить многочлен 3х⁶ + 2х³ – 2х + 5 на многочлен 2х² + 3 по убывающим степеням.

3. Определить кратность нуля х = 1 для многочлена

f (x) = 3х⁵ – 8х⁴ +4х³ + 6х² – 7х + 2

и представить разложение этого многочлена в произведение неприводимых многочленов на поле R и С.

Глава 4 векторные пространства

На некотором множестве К, наделенном внутренним законом коммутативной группы, может быть определен также при помощи некоторого другого множества L, внешний закон композиции – отображение KL в К. Наиболее важным множеством такого типа является векторное пространство (или линейное пространство).

Определение. Множество К называется векторным (линейным) пространством над полем Р, если оно наделено внутренним законом (+) – сложение и внешним законом (·) – умножение на элемент из поля Р, обладающих следующими свойствами:

1. Сложение на множестве К наделено внутренним законом коммутативной группы. х  у и  z имеем:

х + у = у + х;

х + (у + z) = (х + у) + z;

 е   такой, что х + е = е + х = х (нейтральный элемент),

такой что (симметричный элемент).

2. Внешний закон умножения, таким что  х, у и ,  ,

х + у) =  х +  у

(    х =  х   х

 х) = ( х

 х = х, где  есть нейтральный элемент умножения в поле Р.

Элементы из векторного пространства К называются векторами и обычно обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками вверху (и т.п.) или же строчными буквами выделенными жирным шрифтом (a, в, x и т.п.). Элементы поля Р чаще всего обозначаются строчными греческими буквами (и т.п.). Нейтральный элемент сложения е в К называется нулевым вектором и обозначается . Нейтральный элемент сложения е в Р обозначается 0 (нулем), а умножения  – 1 (единица). Элемент симметричный х называется также противоположным вектору и обозначается , т.е. .

Следствия из определения. 1) В векторном пространстве может быть только один нулевой вектор и для каждого вектора только один противоположный. Действительно, допустим, что существуют два нулевых вектора и тогда из определения следует, что их сумма должна быть равна каждому из них, т.е. , или и, следовательно, Аналогично, если какой-нибудь вектор имеет два противоположных и , то сумма должна быть равна и и , следовательно = .

2) Если то либо , либо .

3) Равенство выполнено для любых  и  если. Если же , то, прибавив к обеим частям равенства получим, и значит , но , следовательно  –    и   .

4) Равенство выполнено для любых и если    Если же   , то или . Так как   , то откуда .