Упражнения

1. Доказать: а) линейную зависимость векторов (2, –1, 2), (3, 1, –2),

(6, –3, 6); б) линейную независимость векторов (2, –1, –2), (3, 1, 1), (–4, 2, 1).

2. Доказать, что векторы (2, –1, –1), (2, –3, 0), (1, 1, –1) образуют

базис геометрического пространства и найти координаты вектора (–5, –4, –2) в этом базисе.

3. Доказать, что векторы , ,

компланарны.

4. Определить компоненты и записать разложение вектора в ортонорми-

рованном базисе , если = 2 и этот вектор составляет с осями абсцисс и ординат углы по 45.

5. Выяснить, является ли векторным подпространством данное множест-

во векторов в п-мерном векторном пространстве К над полем Р и, если является, найти его размерность: а) множество векторов, все координаты которых равны между собой; б) множество векторов, сумма координат которых равна 0; в) множество векторов, сумма координат которых равна 1.

Глава 5 матрицы

Определение 1. Матрица А над полем Р, состоящая из k – строк и m – столбцов, есть прямоугольная таблица элементов  где

Определение 2. Произведение числа строк k на число столбцов m матрицы k × m (k на m), равное числу элементов матрицы , называется размером матрицы.

Следует заметить, что матрицы с одинаковым числом элементов могут иметь разную размерность. Например, размерности матриц из m строк и n столбцов (m × n) и n строк и m столбцов (n × m) неодинаковы.

§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц

Как было уже сказано, матрицу А размера k×m можно рассматривать как задание системы из m вектор-столбцов в пространстве Р^k или из k вектор-строк в пространстве P^m. Можно показать (доказательство этой теоремы опускаем), что ранги систем вектор-столбцов и вектор-строк одинаковы.

Определение. Общее значение ранга системы вектор-столбцов (либо вектор-строк), заданных матрицей А, называется рангом этой матрицы и обозначается r(A).

Основываясь на выводах теорем о линейно зависимых и линейно независимых векторах, можно установить, что r(A)  min(k,m), а также следующие элементарные преобразования матрицы, которые не изменяют ее ранга.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

2. Прибавление к элементам одной строке (столбцу) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) этой матрицы;

3. Перестановка двух строк (столбцов) местами данной матрицы.

Комбинируя элементарные преобразования, мы можем к любой строке (столбцу) матрицы прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов) и при этом ранг матрицы также не изменяется. При помощи элементарных преобразований любую матрицу

можно привести к виду

В = или Е =

где в_ii  0, i = 1,2,...,r, r  min (k,m). Ясно, что число r ненулевых элементов равно рангу матрицы: r = r (A) = r (B) = r (E). Таким способом можно определять ранг любой матрицы.

Теперь рассмотрим матрицу А размером k  m как характеристику линейного отображения где , а В этом случае ранг матрицы равен рангу этого линейного отображения. Действительно, система из вектор-столбцов матрицы А состоит из m векторов, принадлежащих , а множество отображений является линейной оболочкой системы вектор-столбцов матрицы А. Таким образом, размерность подпространства отображений (ранг линейного отображения) равен рангу системы вектор-столбцов (ранг матрицы), порождающих это подпространство.

Как мы уже установили раньше, отображение будет взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размерности пространств совпадают k = m и равны рангу r отображения, т.е. r = k = m. Следовательно, матрица, определяющая взаимно однозначное отображение должна быть размером m×m (квадратная), а ее ранг r(А) равен m.