§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р

Пусть К – векторное пространство конечной размерности n над полем Р. И пусть – базис этого пространства. Рассмотрим векторное пространство ; являющееся произведением n векторных пространств Р над полем Р. Поставим в соответствие вектору из К вектор из Рⁿ. Это отображение есть взаимно однозначное отображение, так как разложение вектора по базису, возможно только единственным способом. Пусть далее причем . Поставим в соответствие вектору , вектор из Рⁿ. Так как

,

то ясно, что вектору соответствует вектор из Рⁿ, следовательно

Далее, так как , то вектор соответствует вектору из Рⁿ, следовательно, f () = Таким образом (см. книга 2, гл.1, §3), можно сделать следующее заключение.

Векторное пространство К конечной размерности n над полем Р изоморфно Рⁿ. Изоморфизм между К и Рⁿ зависит от выбранного в К базиса, и изоморфными могут быть пространства только одинаковой размерности.

Образами векторов базиса в Рⁿ будут или , где , если i  j, и , если i = j; величиныназываются символами Кронекера. Действительно, так как

, то , где i = 1,2,...n.

Из предыдущего также вытекает, что для того, чтобы вектора из К были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладали вектора из Рⁿ, соответствующие им при вышеуказанном изоморфизме. В частности покажем, что вектора , есть базис пространства Рⁿ, называемый каноническим.

Доказательство.

1. Докажем, что векторы линейно независимы. Для этого надо доказать, что векторное уравнение имеет только тривиальное решение . Данное уравнение равносильно системе скалярных уравнений _   _     _n    которое имеет единственное решение _  _  = _n = 0.

2. Легко видеть, что любой вектор из Pⁿ есть линейная комбинация векторов с коэффициентами

: . Следовательно, система является базисом Pⁿ.

Таким образом, значение теоремы об изоморфизме состоит в следующем. Векторные пространства могут состоять из чего угодно – столбцов, многочленов, физических величин: скорости, силы, напряженности электрического поля и др. – природа их элементов роли не играет, когда изучаются только их свойства, связанные с операциями сложения и умножения на число. Все эти свойства у изоморфных пространств совершенно одинаковы. С алгебраической точки зрения изоморфные пространства тождественны. Если мы условимся не различать между собой изоморфные пространства, то в силу теоремы об изоморфизме для каждой размерности найдется только одно векторное пространство и, этим пространством может служить пространство Pⁿ.

§7. ВЕКТОР–ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО

ПЕРЕМЕННОГО; ОТОБРАЖЕНИЯ R В Rⁿ

Вектор-функции одного действительного переменного ставят в соответствие действительному числу элемент векторного пространства. Пусть этим пространством будет векторное пространство Rⁿ над полем R.

Определение. Пусть P – некоторое числовое множество из R и пусть каждому числу t поставлен в соответствие элемент (вектор) из Rⁿ. В этом случае говорят, что определена функция действительного переменного t с векторными значениями в Rⁿ или, короче, вектор-функция от t.

Вектор-функцию обозначают через (либо жирной строчной латинской буквой), а ее значение для t – через ; есть элемент векторного пространства Rⁿ. Выражение «вектор-функция от t со значениями в Rⁿ» имеет тот же смысл, что и следующие выражения: вектор-функция, определенная на Р, или отображение Р в Rⁿ.

Обозначим через элементы канонического базиса пространства Rⁿ. Если – вектор-функция, определенная на Р и принимающая значения в Rⁿ, то есть элемент из Rⁿ и, значит, представляет собой множество n действительных чисел, значение которых зависит от t и которые мы обозначим через ; это будут координаты, или компоненты вектора по каноническому базису. Таким образом,

(). Следовательно, для любого t определены n числовых функций ₁, ₂,...,_n одного действительного переменного и, стало быть, является упорядоченным множеством n числовых функций ₁,₂,...,_n одного действительного переменного, которые определены на множестве Р. Функции _i называются координатными функциями.

Допустим теперь, что для – отображение множества Р из R в Rⁿ – существует обратное отображение ; это означает, что для любого вектора , являющегося значением функции , множество тех чисел t, для которых , сводится к одному числу. Тогда ; будет числовой функцией n действительных переменных (книга 1, гл.3, §3 ).

Отметим, что комплексные функции одного действительного переменного рассмотренные нами в книге 2, гл.2 §6, п.6.1, могут быть представлены как векторные функции одного действительного переменного, или как отображение R в R², поскольку С, как векторное пространство отождествляется с R².

В заключение рассмотрим вектор-функцию одного действительного переменного t , значением которой есть радиус-вектор точки М в геометрическом пространстве. Как было уже сказано (гл.4, §3, п.3.3) – это вектор, начало которого совпадает с началом координат О, а концом является некоторая точка М геометрического пространства. Координаты вектора в ортонормированном базисе и координаты точки М в декартовой прямоугольной системе координат совпадают, т.е., если М(x,y,z), то . Пусть координаты вектора , а, следовательно, и точки М, суть функции некоторого параметра t, с областью изменения

Тогда представляет собой вектор-функцию одного действительного переменного t или отображение Р в R³. При изменении t изменяются x, y, z, и точка М – конец вектора – опишет в пространстве некоторую линию, которую называют годографом вектора = (t), и которую можно рассматривать как график вектор-функции (t).

Таким образом, вектор функция одного действительного переменного со значениями в R³ графически изображается линией в геометрическом пространстве.