1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
Группа. Говорят, что множество К, наделенное внутренним законом ┬, есть группа, если закон ┬ обладает следующими тремя свойствами:
а) закон ассоциативен;
б) имеется нейтральный элемент;
в) всякий элемент х имеет симметричный.
Если к этим трем свойствам добавляется четвертое свойство коммутативности закона, то группа называется коммутативной или абелевой.
Примеры. Если К = N , то сложение не превращает N в группу, так как не выполнены два последних условия. Если же К = Z , то сложение превращает Z в абелеву группу.
Кольцо. Не пустое множество К, на котором определены две алгебраические операции и ┬, называют кольцом, если множество К относительно образует абелеву группу, а второй закон ┬ ассоциативен на К и дистрибутивен относительно .
Если второй закон ┬ коммутативен, то кольцо называют коммутативным.
Пример. Множество Z есть коммутативное кольцо: закон группы (абелевой) – сложение, второй закон – умножение.
Поле. Кольцо К, обладающее тем свойством, что множество элементов из К, лишенное нейтрального элемента первого закона, составляет абелеву группу относительно второго закона, называется полем.
Из определения поля следует, что оно содержит, по крайней мере, два нейтральных элемента (но они принадлежат разным законам).
Пример. Множество R действительных чисел есть поле (закон – сложение, ┬ – умножение).
§2. Внешние законы композиции
Определение. Пусть имеются два множества К и L; отображение произведения К L в К называется внешним законом композиции на К.
Примером множества такого типа является векторное пространство, изучению которого посвящена IV глава данной книги.
§3. Изоморфизм
Определение. Пусть имеются два различных или совпадающих множества К и L; и пусть К наделено внутренним законом ┬, а L – внутренним законом . Изоморфизмом множества К на L называется такое взаимно однозначное отображение f множества К на L, что f (а┬в) = f (а) f (в), каковы бы ни были а и в из К; говорят, что К и L изоморфны относительно законов ┬ и .
Примеры.
1. К
= Z, закон ┬
есть сложение; L
– множество
чисел вида 2m
(где m
), а закон
– умножение. Отображение f
:
m
2m
есть изоморфизм, поскольку m
+
2m + m '
= 2m
· 2
m '
,
т.е. f
(m
+ m')
= f (m)
· f (m'),
и отображение
взаимно однозначно, поскольку 2р
= 2g
влечет р
= g.
2. Пусть К = R+, а закон ┬ есть умножение; пусть далее L = R, а закон есть сложение. Отображение х ln x , т.е. f(х) = ln x , есть изоморфизм, так как ln (х, у) = ln х + ln у, и, кроме того, это отображение взаимно однозначно, так как ln u = ln v u = v.
Изоморфизм позволяет заменить операцию а ┬ в во множестве К следующими операциями: образуем элементы а' = f (a) и в' = f (в) множества L, а в L применим к ним операцию , т.е. образуем элемент а' в' = с'; наконец, получим а ┬ в = f –1 (с'). Этот процесс представляет интерес в том случае, когда операция в L более проста, чем операция ┬ в К. Так поступают, заменяя при помощи логарифмов умножение сложением.
Когда имеется изоморфизм между двумя множествами, каждое из которых наделено одним или несколькими внутренними законами, соответствующими друг другу при этом изоморфизме, эти множества часто отождествляются, т.е. для обозначения их элементов и символов внутренних законов, соответствующих друг другу при изоморфизме, используются одни и те же символы. С примером такого отождествления мы встретимся при изучении комплексных чисел и векторных пространств.