Ответы.
1a. (x 1)5 + 5(x 1)4 + 10(x 1)3 + 10(x 1)2 + 5(x 1) + 1.
1б. f(x) = (x + 3)(2x4 6x3 + 13x2 39x + 109) 327, f(x0) = 327.
2а. (x + 1)4(x 4).
2б. (x4 + x3 + 2x2 + x + 1)2.
3. f(x) = x4+ 4x3 x2 7x + 5.
Задание № 13 4.
1. Построить полином наименьшей степени с действительными коэффициентами, с корнями:
а) 3 (двойной корень), 2, 4 (простые корни);
б) 1 (двойной корень), 2, 3, 1+ i (простые корни).
2. Найти соотношение между коэффициентами кубичного уравнения х3 + pх2 + qх + r , при котором один корень равен сумме двух других.
3. Найти х так, чтобы f(х) < f(0), где f(х) = х5 3iх3 + 4.
4. Найти соотношение между коэффициентами уравнения х4 + ах3 + bх2 + сх + d = 0, при котором сумма двух корней равна сумме двух других корней.
Ответы.
1a. x4 19x2 6x + 72.
1б. (x 1)2(x 2)(x 3)(x2 2x + 2) = x6 9x5 + 33x4 65x3 + 74x2 46x + 12.
2. Один из корней = p/2, соотношение 8r = 4рq p3.
3.
x = i,
0 <
<
.
4. a3 4ab + 8c = 0.
Задание № 145.
1.Составить ряд Штурма и отделить корни многочленов:
а) х3 + х 5, б) х4 12х2 16х 4, в) х4 х3 + х2 х 1.
2.Определить все многочлены с коэффициентами 1, имеющие
только вещественные корни.
3.Ограничить сверху и снизу вещественные корни многочлена:
х4 4х3 + 7х2 8х + 3.
4.Определить число вещественных корней уравнения:
х5 5ах3 + 5а2х + 2b = 0.
5.Вычислить с точностью до 0,0001 вещественные корни уравнения х3 3х2 4х + 1 = 0.
6.Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения
3х4 + 4х3 + х2 + х 3 = 0, содержащийся в интервале (0,1).
Ответы.
1а. 1 вещ. корень в интервале: (1, 2).
1б. 4 вещ. корня в интервалах: (3, 2), (2, 1), (1, 0), (4, 5).
1в. f = x4 x3 + x2 x 1, f1 = 4x3 3x2 + 2x 1, f2 = 5x2 + 10x + 17, f3 = 8x 5, f4 = 1. 2 вещ. корня в интервалах: (1, 2), (1, 0).
2. x3 + x2 x 1, x2 x 1, x 1.
3. 0 < xi < 3.
4. Ряд Штурма: f = x5 5ax3 + 5a2x + 2b, f1 = x4 3ax2 + a2,
f2 = ax3 2a2x b, f3 = a(a2x2 bx a3), f4 = a(a5 b2)x, f5 = 1. Если a5 b2 > 0, то
a > 0, все старшие коэф. > 0, все 5 корней fвеществ., если a5 b2 < 0, то в зависимости от знака а распределение знаков выглядит:
f f1 f2 f3 f4 f5
a>0 + + + +
+ + + + + + 5. 3,9489, 0,2172, 1,1660.
a<0 + + +
+ + + + + 6. 0,6180.
Задание № 153.
1.Ассоциативна ли операция на множестве М, если
а) М = N, х y = 2xy;
б) М = Z, x y = x y;
в) М = Z, х y = x2 + y2.
2.Определены ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1, R, R+ следующие операции. Какие из операций обладают свойствами ассоциативности, коммутативности ?
а) a = ab; в) a b = (а + b)/2;
б)
a
b = a/b; г) a
b = 
.
3.Какие из указанных множеств с операциями являются группами:
а) (nZ, +), где n N;
б) ( 1, 1, );
в) множество степеней числа а R (а 0) с целыми показателями относительно умножения;
г) множество невырожденных матриц относительно сложения;
д) множество невырожденных матриц относительно умножения;
е) множество матриц с фиксированным определителем d относительно умножения;
ж) множество R+, если операция определена так: а b = a2b2;
з) множество действительных многочленов степени n (включая нуль) относительно сложения;
и) чётные перестановки чисел 1, 2,..., n относительно умножения;
к) матрицы порядка n с целыми элементами относительно умножения.