Задание 5-3.

1. Как изменится определитель порядка n, если:

а) его строки записать в обратном порядке ?

б) к каждому столбцу, начиная со второго прибавить предыдущий столбец ?

в) к каждому столбцу, начиная со второго прибавить все предыдущие столбцы ?

2. Не развертывая определителей, доказать тождество:

3. Вычислить определители:

4. Предложить схему вычисления определителей 3-го порядка,

отличающуюся от “правила “треугольников”.

5. Предложить схему вычисления определителей 4-го порядка.

Ответы

    1а. Умн. на . 3а. 18. 3д. x²z² .

3б. 90. 3е. n!.

1б. Не изменится. 3в. 1. 3ж. x₁(x₂  a₁₂)(x₃ 

1в. Не изменится. 3г. 5.  a₂₃)…(x_n  a_n-1,n).

2. Умн. 2-й столб на yz...

Задание 6-5.

1. Вычислить определители приведением к треугольному виду:

2. Вычислить определители методом рекуррентных соотношений.

3. Вычислить определители методом представления их в виде суммы

определителей.

Ответы

1. (1)^n(n1) 2n. Из каждого столбца, начиная со второго, вычесть предыдущий.

2. 2n+1.

3. n+1.

4. 2ⁿ⁺¹  1.

5. (1)^n1 n!.

6. 0.

7. (x  a₁)(x  a₂)...(x  a_n).

8. (1)^n1(n  1)x^n2 .

Задание № 73.

1.Найти вектор х из уравнения

а₁ + 2а₂ + 3а₃ + 4х = 0, где а₁ = (5, 8, 1, 2), а₂ = (2, 1, 4, 3),

а₃ = (3, 2, 5, 4).

2.Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми: а) а₁ =(4,2,6), а₂ =(6,3,9);

б) а₁ = (2,3,1), а₂ =(3,1,5), а₃ =(1,4,3).

3.Система векторов а₁, а₂,...,а_k   линейно независима, выяснить,

являются ли линейно зависимыми системы векторов:

а) b₁ = 3а₁ + 2а₂ + а₃ + а₄,  б) b₁ = а₁, 

b₂ = 2а₁ + 5а₂ + 3а₃ + 2а₄, b₂ = а₁ + а₂, 

b₃ = 3а₁ + 4а₂ + 2а₃ + 3а₄.  b₃ = a₁ + a₂ + a₃, 

.......

b_k = a₁ + a₂ +...+ а_k.

4.Найти все значения  , при которых вектор b линейно выражается через векторы а₁, а₂:

а₁ = (3, 4, 2), а₂ = (6, 8, 7), b = (9, 12, ) .

5.Найти какой ни будь базис системы векторов и выразить через него остальные векторы системы:

а) а₁ = (2, 2, 7, 1), а₂ = (3, 1, 2, 4), а₃ = (3, 5, 13, 11);

б) а₁ = (2, 1), а₂ = (3, 2), а₃ = (1, 1), а₄ = (2, 3).

   Ответы

1. (0, 1, 2, 2). 4.    любое.

2а. Нет. (л. зав.) 5а. (а₁, а₂, а₃).

2б. Да. (л. нез.) 5б. (a₁, a₂), a₃ = a₁ + a₂,

3а. Нет. (л. нез.) a₄ = 5a₁ + 4a₂.

3б. Нет. (л. нез.)