Задание № 8-3.

1.Найти ранг матриц с помощью элементарных преобразований:

2.Вычислить ранг матриц:

а)   б) в)

3.Найти ранг матрицы при различных значениях параметра :

4.Докажите,что если ранг матрицы А не изменяется от приписывания к ней любого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется от приписывания к матрице А всех столбцов матрицы В.

Ответы

1a. 3. 1б. 3. 1в. 3.

2а. 2. 3. 2 при   = 0, 3 при    0.

2б. 5.

2в. 3. 4. Док-во.

Задание 9-4.

1.Перемножить матрицы:

2. Вычислить: а) б) в)f(x)=x²  2x + 1, x =  

3.Решить уравнения: а)  б) 

4.Найти обратную матрицу к матрице: а)  б)  в) 

5.Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матрице.

6.Найти общее решение и фундаментальную систему решений сис- тем уравнений:

а) х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 0, б) х₁ + х₂ = 0,

3х₁ + 2х₂ + х₃ + х₄  3х₅ = 0,  х₃ + х₄ = 0,

х₂ + 2х₃ + 2х₄ + 6х₅ = 0, х₂ + ix₃ = 0.

5х₁ + 4х₂ + 3х₃ + 3х₄  х₅ = 0;

Ответы.

1а.   2а.  3а.

1б.   2б.   3б. Реш. нет.

1в.   2в.   4а. 4б.

1г.   4в. 5.  

6a. ФСР: (1, -2, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 1, 0), (5, 6, 0, 0, 1);

Общ. реш.: x₁, = C₁ + C₂ + 5C₃, x₂ = 2C₁  2C₂ 6C₃, x₃ = C₁, x₄ = C₂, x₅ = C₃.

6б. ФСР: (i, i, 1, 1); Общ. реш.: x₁ = Сi, x₂ = Ci, x₃ = C, x₄ = C.

Задание 102.

1.Выполнить деление с остатком многочленов f(x) на g(x):

а) f(x) = x³  3x²  x  1, g(x) = 3x²  2x + 1;

б) f(x) = 2x⁵  5x³ + 8x, g(x) = x + 3.

2.При каком условии полином х⁴ + px² + q делится на полином вида х² + mx + 1?

3.Подобрать такие многочлены u(x) и v(x), что f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1:

f(x) = x⁴  x³  4x² + 4x + 1, g(x) = x²  x  1.

4.Найти наибольший общий делитель многочленов:

а) х⁶ + 2х⁴  4х³  3х² + 8х  5 и х⁵ + х²  х + 1,

б) х⁴  4х³ + 1 и х³  3х² + 1.

5.Найти наибольший общий делитель полинома и его производной: f(x)=(x1)³(x+1)²(x3).

6.Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы М₁(х) и

М₂(х) так, чтобы f₁(x)M₂(x) + f₂(x)M₁(x) = (x), где (x)  наибольший общий делитель f₁(x) и f₂(x): f₁(x) = x⁵ + 3x⁴ + x³ + x² + 3x + 1,

f₂(x) = x⁴ + 2x³ + x + 2 .

Ответы .

1а. 1/9(3x7), 1/9(26x+2). 4a. х³  x + 1.

1б. (2x⁴  6x³ + 13x²  39x + 4б. x²  2x  1.

+ 125)(x + 3)  375. 5. (x1)² (x + 1).

2. 1) q = p  1, m=0, 6. f₁(x) + (x + 1)f₂(x) = x³ + 1.

2) q = 1, m = .

3. U(x) = x  1, V(x) = x³ + x²  3x  2.

Задание № 111

Разложить на неприводимые множители над полем С или полем

вещественных чисел многочлены:

1. х⁶  15х⁴ + 8х³ + 51х²  72х + 27,   2.  х ³  6х² + 11х  6,

3. х¹² + х⁸ + х⁴ + 1,  5  0 4. х⁴ + 4.

Ответы

1. (x  1)³(x + 3)³(x  3).

2. (x  1)(x  2)(x  3).

3. (x² + x+ 1)(x²  x+ 1)(x² + x+ 1)(x² 

x+ 1)(x² + x  + 1)(x²  x+ 1).

4. (x²+ 2x + 2)(x²  2x + 2).

Задание № 122.

1.Пользуясь схемой Горнера, разложить полином f(x) по степеням х  х₀: 

a) f(x) = x⁵, x₀ = 1,

б) f(x) = 2x⁵  5x³  8x, x₀ = 3.

2.Отделить кратные множители полиномов:

1. f(x) = x⁵  10x³  20x²  15x  4,

2. f(x) = x⁸ + 2x⁷ + 5x⁶ + 6x⁵ + 8x⁴ + 6x³ + 5x² + 2x + 1.

3.Построить полином наименьшей степени по данной таблице

значений: x  1 0 1 2 3

f(x)   6 5 0 3 2