2. Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица 3

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 * 0 = 0
1 + 0 = 1	1 – 0 = 1	1 * 0 = 0
0 + 1 = 1	10 - 1 = 1 единица заёма из старшего разряда	0 * 1 = 0
1 + 1 = 0 + единица переноса в старший разряд	1- 1 = 0	1 * 1 = 1

Замечание Возможно, что перенос единицы в старший разряд производится неоднократно.

Другой вариант таблиц двоичных сложения, вычитания и умножения имеет вид:

+	0	1		-	0	1		*	0	1
0	0	1		0	0	1		0	0	0
1	1	1)0		1	1)1	0		1	0	1

Примечание В таблице сложения 1) - единица переноса в старший разряд, в таблице вычитания 1) - единица заёма из старшего разряда.

Пример

_{ }

1011101.101₂ 1-е слагаемое

+

111011.011₂ 2-е слагаемое

10011001.000₂ сумма

Проверка

1-е слагаемое=1*2⁶ +0*2⁵ +1*2⁴ +1*2³+1*2² +0*2¹ +1*2⁰ +1*2^-1+0*2^-2 +1*2^-3= = 93.625

2-е слагаемое =1*2⁵ +1*2⁴ +1*2³ +0*2²+1*2¹ +1*2⁰ +0*2^-1+1*2^-2 +1*2^-3 =

= 59.375

сумма = 1*2⁷+0*2⁶ +0*2⁵ +1*2⁴ +1*2³+0*2² +0*2¹ +1*2⁰ +0*2^-1+0*2^-2 +0*2^-3=

= 153

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается единица из следующего – старшего разряда. Эта единица равна 2 единицам данного разряда. Заём производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше цифры в том же разряде уменьшаемого.

Пример

11011.011₂ уменьшаемое

-

1100.111₂ вычитаемое

1110.100₂ разность

Проверка

уменьшаемое = 1*2⁴ +1*2³+0*2² +1*2¹ +1*2⁰ +0*2^-1+1*2^-2 +1*2^-3= 27.375

вычитаемое = 1*2³ +1*2²+1*2¹ +0*2⁰ +1*2^-1+0*2^-2 +0*2^-3=12.875

разность = 1*2³+1*2² +1*2¹ +0*2⁰ +1*2^-1+0*2^-2 +0*2^-3= 14.5

Умножение двоичных многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их сложения. Другими словами, оно сводится к операциям сдвига и сложения. Положение запятой определяется так же, как и при десятичном умножении.

Пример

1101.11 множимое

* 101.01 множитель

1101 11

+ 110111

110111

1001000.00 11 произведение

Проверка

множимое = 1*2³ +1*2² +0*2¹ + 1*2⁰ +1*2^-1 +1*2^-2 = 13.75

множитель = 1*2² +0*2¹ + *2^-0 +0*2^-1 +1* 2^-2 = 5.25

произведение = 1*2⁶ +0*2⁵ +0*2⁴ +1*2³ +0* 2² +0*2¹ +0*2⁰ + 0*2^-1 +0*2^-2 +

+1* 2^-3 +1*2^-4 = 72.1875

Деление в двоичной системе выполняется аналогично делению в десятичной системе счисления.

Пример

10011.1111│111.01

делимое 100111111│1110100 делитель

^- 1110 100 10.11 частное

101 01110

^- 11 10100

1 110100

• 1 110100