Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

И. А. Матвеева Т.И. Булдакова

ИНформатика

(специальные разделы)

Учебное пособие

для студентов специальности 220400, 075500

Саратов 2005

УДК 681. 3(075)

ББК 73

М 33

Рецензенты:

Кафедра математической и теоретической физики

Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Кандидат технических наук доцент кафедры

радиотехники и электродинамики СГУ

Н.Г. Олейник

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного технического университета

Матвеева И.А.

М 33 Информатика (специальные разделы): учеб. пособие / И.А.Матвеева, Т.И. Булдакова. Саратов: Сарат. гос. техн.ун-т, 2005. 55с.

ISBN 5-7433-1596-5

Описаны принципы построения позиционных систем счисления, способы перевода чисел из одной системы счисления в другую, формы и коды представления чисел в ЭВМ. Рассмотрено выполнение арифметических операций в кодах. Особое внимание уделено двоичной системе счисления и двоичным кодам. Рассмотрены двоичные коды, позволяющие обнаруживать и исправлять ошибки в переданном сообщении.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» и «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем».

УДК 681. 3(075)

ББК 73

 Саратовский государственный

технический университет, 2005

ISBN 5-7433-1596-5  Матвеева И.А., Булдакова Т.И., 2005

Предисловие

Бурное развитие информационных технологий и их широкое применение в различных областях человеческой деятельности (производство, образование, наука, телекоммуникации и др.) предъявляют высокие требования к уровню подготовки специалистов в области информатики. Информатика является одной из базовых дисциплин, необходимых для изучения и понимания таких дисциплин как «Алгоритмические языки и программирование», «Организация и функционирование ЭВМ», «Теория автоматов», «Криптография и защита информации» и т.д. Изучение специальных разделов информатики, посвященных позиционным системам счисления, двоичной арифметике и двоичным кодам, является неотъемлемой составной частью подготовки специалистов по направлениям «Информатика и вычислительная техника»,

«Прикладная математика и информатика», по специальностям «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», «Автоматизированные машины, комплексы, системы и сети», «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».

В основу учебного пособия положен курс лекций по данной дисциплине, который читается в течение нескольких лет в Саратовском государственном техническом университете.

1. Системы счисления

Необходимость выполнения арифметических действий над вводимыми в ЭВМ числами предъявляет особые требования к кодированию числовой информации. Наиболее удобной оказалась двоичная система счисления.

Наиболее привычной является десятичная система счисления. В ней используются цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Определение Система счисления – способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. От особенностей системы зависят наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметических операций.

Римская система счисления является примером системы с очень сложным способом записи чисел и громоздкими правилами выполнения арифметических операций. Система является непозиционной, то есть значение символов не зависит от положения в числе, хотя возможны и отклонения.

1.1. Позиционные системы счисления

Более удобны позиционные системы счисления, в которых значение цифры определяется положением в числе.

Пример 4 сотни - 444 - 4 единицы

|

4 десятка

Для позиционных систем счисления характерны наглядность представления чисел и сравнительная простота выполнения арифметических операций.

Определение Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число.

Существует однозначная зависимость от позиции цифры и определен некоторый закон, по которому меняется значение цифры в зависимости от позиции цифры.

Помимо десятичной системы существуют другие позиционные системы. Некоторые из них используются в вычислительной технике.

Определение Количество b различных цифр, употребляемых в позиционной системе, называется её основанием.

В десятичной системе основание – 10, в двоичной – 2, в пятеричной – 5 и т.д.

Пример 645.35 = 6 100+4 10+5 1+3 0.1+5 0.01=6 10²+4 10¹+5 10⁰ + +310^-1+510^-2

Число представлено в виде полинома по степеням 10. Каждая цифра имеет вес: 6 – 100, 4 – 10, 5 – 1, 3 – 0.1, 5 – 0.01.

В двоичной системе счисления основание – 2, цифры – 1, 0.

Пример

11001.0101₂ =1 2⁴+ 1 2³+ 0 2²+ 0 2¹+ 1 2⁰+ 0 2^-1+ 1 2^-2+ 0 2^-3+ 1 2^-4

Десятичные веса 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16

В системе счисления с основанием (базой) b положительное число N представляет собой многочлен

q-1

N=a_q-1 b^q-1+ …+ a₁ b¹+ a ₀ b⁰+ a_-1 b^-1+…+ a_-p b^-p =  a_i bⁱ, (1)

i=-p

где b – целое число, большее 1;

a_i– целые числа в диапазоне 0  a_i  b-1.

Последовательность a_q-1a_q-2…a₁a₀ образует целую часть N, аa_-1a_-2…a_-p - дробную часть числа N. Таким образом, p и q обозначают количество цифр в дробной и целой частях соответственно. Целая и дробная часть разделяются точкой. Цифры a_-p и a_q-1называются младшим и старшим разрядом соответственно. Если нет отрицательных степеней, то точка опускается.

В позиционной системе счисления значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию в системе счисления.

Пример

1101.1011₂ = 1 2³+ 1 2²+ 0 2¹+ 1 2⁰+ 1 2^-1+ 0 2^-2+ 1 2^-3+ 1 2^-4=

3

= a_i 2ⁱ

i=-4

Одному и тому же числу в разных системах счисления соответствует разное представление.

Пример Десятичные числа от 0 до 15

Таблица 1

b =10	b =2	b =4	b =8	b =16
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	10	2	2	2
3	11	3	3	3
4	100	10	4	4
5	101	11	5	5
6	110	12	6	6
7	111	13	7	7
8	1000	20	10	8

Окончание таблицы 1

b =10	b =2	B =4	b =8	b =16
9	1001	21	11	9
10	1010	22	12	A
11	1011	23	13	B
12	1100	30	14	C
13	1101	31	15	D
14	1110	32	16	E
15	1111	33	17	F

Определение Дополнением цифры a по основанию b называется a= = (b-1)-a. Оно равно разности между наибольшей цифрой по основанию b и цифрой a.

Пример

Двоичная система:

0 = (2 - 1)- 0 = 1, или 1- 0 = 1;

1 = (2 - 1) - 1= 0, или 1- 1= 0.

Десятичная система:

5 = (10 -1) - 5= 4, или 9 - 5 = 4;

4 = (10 -1) - 4 = 5, или 9 - 4 = 5.

Двоичное изображение требует большего числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы создает удобства при проектировании ЭВМ, так как для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния (триггерная схема). Двоичная арифметика удобна для реализации.