31.2. Построение касательных и касание окружностей

31.2.1. Построение касательной к окружности

Подобное построение основано на том, что касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному в точку касания.

Построение касательной к окружности в заданной на ней точке A (рис. 43). Через точку A и центр окружности О проводят прямую и в точке А восставляют перпендикуляр к радиусу OA. Проведенный перпендикуляр MN и является искомой касательной.

Рис. 176

Построение касательной к окружности, если точка A задана вне окружности (рис. 177). Центр окружности О и точку A соединяют прямой. Отрезок OA принимают за диаметр вспомогательной окружности. Разделив отрезок OA пополам, получают точку O₁ и из нее, как из центра, описывают вспомогательную окружность радиусом O₁A. Вспомогательная окружность пересекает заданную в точках B и C. Прямая, проведенная черев точки А и B, будет касательной к окружности, так как угол АВО прямой, как вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр. Прямая АС является второй касательной к заданной окружности.

Рис. 177

31.2.2. Касание окружностей

Различают два вида касания окружностей – внешнее и внутреннее. При внешнем касании окружностей радиусов R и r (рис. 178 а) центры окружностей O₁ и O₂ располагаются по разные стороны от общей касательной MN, проведенной через точку касания A, а расстояние между ними равно сумме радиусов R + r. Точка касания A лежит на прямой, соединяющей центры касающихся окружностей.

Рис. 178

Внутреннее касание окружностей (рис. 178 б) характеризуется тем, что центры касающихся окружностей O₁ и O₂ располагаются по одну сторону от общей касательной MN, проведенной через точку касания А, а расстояние между центрами касающихся окружностей равно разности радиусов R–r. Точка касания A окружностей в этом случае расположена на продолжении прямой, соединяющей их центры.

Рис. 179

Построение окружности радиуса r, касающейся окружности радиуса R в данной на ней точке А. На рисунке 179 показано построение внутреннего касания окружностей. Точку A и центр O₁ заданной окружности соединяют прямой. Радиусом R – r из центра O₁ проводят дугу до пересечения ее с прямой O₁A в точке O₂. Точка O₂ является искомым центром окружности радиуса r.

31.2.3. Построение касательных к двум окружностям

При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r (рис. 180). Из центра окружности большего радиуса – точки O₁ описывают окружность радиусом R – r (рис 180 а). Находят середину отрезка O₂O₁ – точку O₃ и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O₃O₂ или O₃O_1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O₁ и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиуса R определяют точку касания D (рис. 180 б). Из точки O₂ параллельно прямой O₁D проводят линию до пересечения с окружностью радиуса r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).

Рис. 180

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рис. 48). Из центра любой окружности, например: точки O₁, описывают окружность радиусом R + r (рис. 181 а). Разделив отрезок O₂O₁ пополам, получают точку O₃. Из точки O₃, как из центра, описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O₃O₂ = O₃О₁ и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O₁ (рис. 181 б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O₁D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.

Рис. 181