2. Гіпербола.

Означення. Гіперболою називається множина точок площини, різниця відстаней яких від двох заданих точок цієї площини (які називаються фокусами) є величина стала (за модулем).

Нехай точки F₁ і F₂ – фокуси гіперболи, а М – її довільна точка. Тоді – стала величина, позначимо її 2а. Відстань F₁F₂ позначимо 2с, (очевидно с>а).

Рис. 3.16

Проведемо вісь Ох через фокуси, а початком координат оберемо середину відрізка F₁F₂ (рис. 3.16). Тоді координати фокусів гіперболи будуть F₁( с; 0), F₂( с; 0). Координати поточної точки гіперболи М позначимо ( х; у). За формулою відстані між двома точками

F₁М =, F₂М =.

Тоді за означенням гіперболи

– = 2а.

Виконавши перетворення, аналогічні до тих, якими ми спрощували рівняння еліпса, одержимо аналогічний результат:

(а² – с²)х² + а²у² = а²(а² – с²).

Позначимо а² – с² = –b² (а² – с²<0, бо с>а) і поділимо обидві частини рівняння почленно на –а²b²:

. (3.52)

Ми одержали канонічне рівняння гіперболи. На його підставі сформулюємо основні властивості гіперболи.

1. Гіпербола – алгебраїчна лінія другого порядку.

2. Гіпербола, як і еліпс, симетрична відносно координатних осей. Початок координат є центром симетрії гіперболи.

3. Розв’язуючи рівняння (3.52) відносно у:

, (3.53)

бачимо, що гіпербола визначена лише для тих значень х, для яких . Розглянемо частину гіперболи, розташовану в першому квадранті. Рівняння цієї частини згідно (3.53):

. (3.54)

Якщо значення х зростають від а до +, то значення у при цьому зростають від 0 до +. Отже, гіпербола – необмежена лінія. З міркувань симетрії доходимо висновку, що вся гіпербола складається з двох віток (рис. 3.16).

4. Гіпербола перетинає вісь абсцис у точках ( –а; 0) і ( а; 0). Ці точки називаються вершинами гіперболи. Вісь ординат гіпербола не перетинає. Величини а і b називаються відповідно дійсною і уявною півосями гіперболи.

5. Прямі і є асимптотами гіперболи.

Рис. 3. 17

О значення. Пряма лінія називається асимптотою даної кривої, якщо відстань від поточної точки М кривої до цієї прямої при віддалені точки М у нескінченність прямує до нуля. Іншими словами, крива при віддаленні у нескінченність витягається вздовж своєї асимптоти, необмежено наближаючись до неї (рис. 3.17).

Знову розглянемо частину гіперболи, яка лежить у першому квадранті (3.54) і переконаємося, що пряма є асимптотою цієї частини. Точки прямої і гіперболи з однією і тією ж абсцисою х мають відповідно ординати і . Розглянемо різницю цих ординат і її поведінку при необмеженому зростанні х (тобто при віддалені точки гіперболи у нескінченність):

– = (х – ) = = = = .

В одержаному виразі чисельник – стала величина, а знаменник нескінченно зростає при необмеженому зростанні х, отже сам дріб необмежено наближається до нуля. Звідси випливає, що в цьому разі і відстань відповідної точки гіперболи від прямої прямує до нуля, тобто ця пряма справді є асимптотою гіперболи у першому квадранті. З міркувань симетрії робимо висновок, що пряма є асимптотою гіперболи у першому і третьому, а пряма – у другому і четвертому квадрантах.

Якщо побудувати прямокутник із сторонами 2а і 2b, симетричний відносно осей координат (рис. 3.16), то дві його сторони дотикаються до віток гіперболи в їх вершинах, а продовження діагоналей прямокутника є асимптотами гіперболи. Отже, побудувавши цей прямокутник і провівши його діагоналі, ми можемо нарисувати досить вірний ескіз гіперболи.

Аналогічно, як і для еліпса, відношення

(3.55)

називають ексцентриситетом гіперболи.

Якщо   1, то це означає, що при даному а піввісь b  0, значить кут між асимптотами теж наближається до нуля, і вітки гіперболи “сплющуються” до осі абсцис.

Якщо ж  зростає, то це означає, що зростає відношення , а значить зростає кут між асимптотами і вітки гіперболи “розпрямляються”.

Прямі і , паралельні осі Оу, називають директрисами гіперболи. Вони мають такі ж властивості, як і директриси еліпса:

, (3.56)

де r₁ і r₂ – відстані точки гіперболи від фокусів, а d₁ і d₂ – відстані від відповідних директрис. Таким чином можна сформулювати спільне означення еліпса і гіперболи, а саме:

Множина всіх точок площини, відношення відстані яких від даної точки (фокуса) до відстані від даної прямої (директриси) є стала величина , є еліпс, якщо 0 <  < 1, і гіпербола, якщо  > 1.

Природно виникає питання, що являє собою множина точок, визначена аналогічним чином при умові  = 1, тобто коли r₁ = d₁ чи r₂ = d₂. виявляється, що це ще одна лінія другого порядку, яка називається параболою.

Відношення називається фокальним параметром гіперболи. Як і еліпс, гіпербола повністю визначається значеннями параметра p і ексцентриситету . Як і для еліпса, відстань фокуса від відповідної директриси дорівнює .

Рівняння

є рівнянням гіперболи, центр якої міститься в точці .

Рівняння

або

також визначає гіперболу, фокуси якої розташовані на прямій, що паралельна осі Оу.