3.9. Кут між двома прямими
1. Задано дві прямі (l1) і (l2). Потрібно обчислити кут між ними. Розглянемо два випадки, які відрізняються способом завдання прямих.
а) Прямі задані загальними рівняннями:
(l1): А1х + В1у + С1 = 0;
(l2): А2х + В2у + С2 = 0.
Рис.
3.
13
=
(А1;В1) і
=
(А2;В2), і кут між
прямими можна знайти як кут між площинами
у п.3.4 (рис. 3.13):
cos (l1ˆl2)
= cos |(
ˆ
)|
=
=
(3.37)
Умовою паралельності прямих є паралельність їх нормальних векторів, тобто пропорціональність координат цих векторів:
((l1)║(l2))
(
║
)
. (3.38)
Умовою перпендикулярності прямих є умова ортогональності їх нормальних векторів:
((l1)(l2))
(
)
(
=
0)
A1A2
+ B1B2
= 0. (3.39)
б) Прямі задані канонічними рівняннями:
(l1):
;
(l2):
.
З цих рівнянь маємо координати напрямних
векторів прямих:
=
( m1;
n1) і
=
( m2;
n2), і кут між
прямими можна знайти як у п.3.6:
cos (l1ˆl2)
= cos |(
ˆ
)|
=
=
(3.40)
Умовою паралельності прямих є паралельність їх напрямних векторів, тобто пропорціональність координат цих векторів:
((l1)║(l2))
(
║
)
. (3.41)
Умовою перпендикулярності прямих є умова ортогональності їх нормальних векторів:
((l1)(l2))
(
)
(
=
0)
m1m2
+ n1n2
= 0. (3.42)
в) Прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом:
Рис.
3. 14
(3.43)
Тоді k1 = tg α1, k2 = tg α2, де α1 і α2 – відповідно кути нахилу прямих (l1) і (l2) до осі Ох (рис. 3.14). Знайдемо тангенс кута між прямими:
tg (l1ˆl2) = tg (α2 – α1) =
=
.
В загальному випадку
tg (l1ˆl2)
=
. (3.44)
Умова паралельності очевидна: α1 = α2, звідки tg α1 = tg α2, отже
k1 = k2 . (3.45)
Умову перпендикулярності одержимо,
переписавши рівняння (3.43)
як загальні і скориставшись умовою
(3.39) (де
,
,
):
k1k2
+ 1 =0, звідки
. (3.46)
Приклад 1. Знайти точку перетину двох прямих
(l1): 5х – 2у + 16 = 0;
(l2): 3х + у + 3 = 0.
Розв’язання:
Згідно з формулою (3.3) координати точки перетину, як спільної точки прямих (l1) і (l2) двох прямих, повинні задовольняти рівняння обох прямих, отже вони є розв’язком системи рівнянь:
Розв’язуючи цю систему, одержуємо х = –2; у = 3. Отже прямі (l1) і (l2) перетинаються в точці М(-2;3).
Приклад 2. Написати рівняння прямої (l1), яка проходить через точку М0(х0;у0) паралельно до заданої прямої (l).
Розв’язання:
а) Нехай пряму (l) задано загальним рівнянням
(l): 5х – 2у + 16 = 0, М0(2;–3).
З рівняння прямої (l)
знаємо її нормальний вектор
=
(5;–2). Оскільки шукана пряма (l1)║(l)
, то її нормальний вектор
║
.
Не обмежуючи загальності, можна взяти
=
=
(5;–2). Залишається скористатись рівнянням
прямої за точкою і нормальним вектором
(3.31):
5(х – 2) – 2(у +3) = 0 або 5х – 2у – 16 = 0.
б) Нехай пряму (l) задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом:
(l): у = 3х – 2, М0(–2;1).
Задана пряма (l) має кутовий коефіцієнт k = 3. Оскільки шукана пряма (l1)║(l), то її кутовий коефіцієнт k1 = k = 3. скориставшись рівнянням прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом (3.36), маємо відповідь
(l1): у – 1 = 3(х + 2), або у = 3х + 7.
Приклад 3. Написати рівняння прямої (l1), яка проходить через точку М0(х0;у0) перпендикулярно до заданої прямої (l).
Розв’язання:
а) Нехай пряму (l) задано загальним рівнянням
(l): 3х + 4у – 11 = 0, М0(2;6).
Нормальний вектор прямої (l)
=
(3;4). Оскільки шукана пряма (l1)(l),
то її напрямний вектор
║
.
Можемо взяти
=
=
(3;4). Тоді рівняння шуканої прямої (l1)
запишеться як рівняння прямої за точкою
і напрямним вектором (3.32):
(l1):
,
або 4х – 3у + 10 = 0.
б) Пряму (l) задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом:
(l): у = –2х + 5, М0(3;–1).
Задана пряма (l) має
кутовий коефіцієнт k
= –2. Шукана пряма
(l1)(l),
тому її кутовий коефіцієнт згідно з
умовою перпендикулярності (3.46) дорівнює
.
Рівняння шуканої прямої (l1)
одержимо тепер як рівняння прямої за
точкою і кутовим коефіцієнтом (3.36):
(l1): у + 1 =
(х
– 3), або х – 2у – 5 = 0.
Приклад 4. Знайти кут між прямими (l1) і (l2) .
Розв’язання:
а) Прямі задано загальними рівняннями:
(l1): 2х – у + 8 = 0;
(l2): 6х + 2у – 7 = 0.
Нормальні вектори прямих відповідно
=
(2;–1) і
=
(6;2). Кут між прямими знаходимо як кут
між їх нормальними векторами за формулою
(3.37):
cos (l1ˆl2)
=
=
=
=
.
Отже кут
(l1ˆl2)
= arccos
=
= 45.
б) Прямі задано рівняннями з кутовими коефіцієнтами:
(l1): у = –3x + 5;
(l2): у = –x – 2.
Кутові коефіцієнти прямих відповідно k1 = –3, k2 = –1. За формулою (3.44)
tg (l1ˆl2)
=
=
=
=
.
Отже кут
(l1ˆl2)
= arctg
2634.