4. Конус другого порядку.

Означення. Конусом другого порядку називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат має канонічне рівняння вигляду

, (3.62)

Основні властивості:

1. Конус є алгебраїчна поверхня другого порядку.

2. Площини Оxy, Оyz, Охz є площинами симетрії, а початок координат – центром симетрії конуса.

3. З координатними осями конус має лише одну спільну точку – початок координат . Це вершина конуса.

Переріз площиною дає еліпс з півосями і . При лінія перетину конуса з площиною вироджується в точку , а при необмеженому зростанні розміри еліпса необмежено зростають. В перерізі конуса площиною Оxz (y = 0) одержуємо лінію

яка розпадається на дві прямі, що перетинаються

і

В перерізі конуса площиною при отримуємо лінію

звідки

або ,

тобто гіперболу. Аналогічна картина має місце при перетині корпуса площиною і взагалі будь-якою площиною, паралельною осі Оz (дві прямі, що перетинаються в початку координат, якщо площина перерізу проходить через вісь Оz, і гіпербола, якщо площина перерізу паралельна осі Оz, але не проходить через неї). Таким чином поверхня конуса утворена прямими, які проходять через вершину конуса і називаються твірними конуса. Ще зазначимо, що переріз конуса площиною, яка паралельна його твірній і не проходить через початок координат, є парабола. Таким чином, перетинаючи конус різними площинами, ми можемо одержати всі різновиди алгебраїчних ліній другого порядку, розглянуті в п. 3.11. Тому алгебраїчні лінії другого порядку іноді називають конічними перерізами або коніками. Розглянуті перерізи дозволяють уявити конус у вигляді поверхні, зображеної на рис. 3.23.

У випадку а = b отримуємо круговий конус, утворений обертанням навколо осі Оz прямої, що перетинає вісь Оz у початку координат.

5. Еліптичний параболоїд.

Означення. Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат має канонічне рівняння вигляду

. (3.63)

Основні властивості:

1. Еліптичний параболоїд є алгебраїчна поверхня другого порядку.

2. Площини Оyz, Оzх є площинами симетрії параболоїда.

3. Параболоїд має з осями координат одну спільну точку – початок координат . Це вершина параболоїда.

Переріз площиною дає еліпс

, або

з півосями і . Отже, при перетину не буде, при одержимо точку (вершину параболоїда), а при маємо еліпс, розміри якого зростають при зростанні . Переріз площинами і дає параболи, і ми одержуємо поверхню, зображену на рис. 3.24.

Якщо , то маємо параболоїд обертання, утворений обертанням параболи навколо її осі симетрії.

6. Гіперболічний параболоїд.

Означення. Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат має канонічне рівняння вигляду

. (3.64)

Основні властивості:

1. Гіперболічний параболоїд є алгебраїчна поверхня другого порядку.

2. Площини Оyz, Оzх є площинами симетрії параболоїда.

3. Параболоїд має одну спільну точку з осями координат (вершина параболоїда).

Переріз гіперболічного параболоїда площиною приводить до рівнянь

Це рівняння гіперболи, дійсна вісь якої паралельна осі Ох, якщо , паралельна осі Оy, якщо . При одержуємо пару прямих, які перетинаються в початку координат. Переріз площиною дає параболу, спрямовану вітками вниз, а переріз площиною – параболу, спрямовану вгору. Таким чином, гіперболічний параболоїд має сідлоподібну форму, зображену на рис. 3.25. Можна показати, (див. нижче) що гіперболічний параболоїд, як і однополий гіперболоїд, “зітканий” з прямих ліній (прямолінійних твірних).