МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Одеська Державна Академія Будівництва і Архітектури

Кафедра вищої математики

Г.В. Ковальова

МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

Курс лекцій з вищої математики за І семестр для студентів спеціальності «Архітектура»

(частина І)

Одеса – 2009

Зміст

стр.

Передмова ……………………………………………………...........…...4

Рекомендована література .……………………………………………..4

Розділ 1. Матриці і системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) 5

1.1. Матриці, визначники та їх властивості ...……………...……......…5

1.2. Види матриць. Лінійні дії над матрицями …………….…..……..11

1.3. Множення матриць. Обернена матриця ………………………….15

1.4. Система п лінійних рівнянь з п невідомими. Матричний спосіб розв’язання систем …………………..……………………...….……....19

1.5. Метод Гаусса розв’язання СЛАР ………………………..…...…...22

Розділ 2. Вектори……………………......................................................29

2.1. Поняття вектора. Лінійні дії над векторами ..…………………....29

2.2. Проекція вектора на вісь …………….…………………………….32

2.3. Декартові координати ……………………………...……………...34

2.4. Приклади геометричних застосувань декартових координат…...35

2.5. Скалярний добуток векторів ……………………………………...39

2.6. Геометричні застосування скалярного добутку …………………41

2.7. Векторний добуток векторів ………………………….………..…43

2.8. Мішаний добуток трьох векторів ………...………………….…...47

Розділ 3. Аналітична геометрія……………………….…………….….51

3.1. Рівняння лінії на площині………………………………………….51

3.2. Рівняння поверхні у декартових координатах. Рівняння лінії в просторі………………………………………………..……………...…54

3.3.Площина як алгебраїчна поверхня першого порядку. Різні форми рівняння площини…………………………...…………..……………...57

3.4. Кут між двома площинами. Відстань від точки до площини …..61

3.5. Пряма в просторі. Способи завдання прямої…………….…....…63

3.6. Кут між двома прямими. Кут між прямою i площиною.………..68

3.7. Точка перетину прямої і площини…..………………………..…..71

3.8. Пряма на площині як алгебраїчна лінія першого порядку. Різні форми рівняння прямої на площині……..………………………..…...74

3.9. Кут між двома прямими ….…………………………………….....77

3.10. Алгебраїчні лінії другого порядку……………………….….......81

3.11. Канонічні рівняння алгебраїчних поверхонь другого порядку..93

3.12. Лінійчаті поверхні і поверхні обертання ……………………...102

Розділ 4. Вступ до математичного аналізу…………………………..107

4.1. Поняття множини. Логічна символіка. Необхідна і достатня умови, пряма і обернена теореми………………………………...…..107

4.2. Дійсні числа. Деякі числові множини…………………………...109

4.3. Поняття функції. Способи завдання числових функцій………..111

4.4. Класифікація функцій. Поняття елементарної функції……...…115

4.5. Неявна функція, обернена функція, функція, задана параметрично………………………………………………………….116

4.6. Границя функції. Нескінченно малі та нескінченно великі функції……………………………………………………………….…120

4.7. Властивості границь………………………………………………125

4.8. Еквівалентні функції…………………………………………...…129

4.9. Визначні границі………………………………………………….131

4.10. Неперервні функції. Властивості неперервних функцій. Неперервність елементарних функцій……………………………….134

4.11. Асимптоти графіка функції……………………………………..136

Передмова

Цей методичний посібник складено у відповідності з діючою програмою для студентів спеціальності «Архітектура» І курсу, І семестру.

Посібник має 4 розділи, які позначені у змісті, в них міститься увесь теоретичний матеріал та наведено багато прикладів розв‘язання різних типів задач.

Рекомендована література

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М. : Наука, 1987. – 320 с.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М. : Наука, 1986. – 544 с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М. : Наука, 1983. – 228 с.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М. : Наука, 1988. – 431 с.

5. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К. : Видавництво А.С.К., 2004. – 648 с.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М. : Наука, 1988. – 224 с.

7. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989. – 656 с.

8. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М. : Высш. шк., 1986. – 399 с.

9. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика: Підручник. У 2 ч. – К. : Техніка, 1999. – Ч. 1.  592 с.

10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов : В 3 т. – М. : Наука, 1985. – Т. 1. – 432 с.

11. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика. – К. : Вища шк. Головне вид-во, 1986. – 512 с.

Розділ 1. Матриці і системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)

1.1. Матриці, визначники та їх властивості

Означення. Матрицею розміром називається прямокутна таблиця, складена з чисел, розташованих у рядків і стовпців. Ці числа називаються елементами матриці. Якщо , матрицю називають квадратною матрицею порядку . В цьому розділі розглядатимемо лише квадратні матриці.

Матриці позначають великими латинськими літерами, а їх елементи – такими ж малими літерами з подвійними індексами, де перший індекс означає номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких стоїть цей елемент. Наприклад, квадратна матриця А третього порядку позначається так:

.

Кажуть, що елементи утворюють головну діагональ матриці, елементи – побічну діагональ.

Кожній квадратній матриці ставиться у відповідність число, яке називається визначником або детермінантом цієї матриці. Визначник позначається через , визначник матриці А через чи , а записується подібно до самої матриці, лише замість круглих дужок по боках таблиці елементів ставляться прямолінійні:

.

Розглянемо правила обчислення визначників. Визначник матриці другого порядку обчислюється за формулою

(1.1)

(добуток елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної).

Визначник матриці третього порядку обчислюється за формулою

. (1.2)

Далі визначники другого порядку розкриваються за формулою (1.1), і ми одержуємо вираз визначника через його елементи.

Приклад. Обчислити визначник .

За формулою (1.2):

==

=

=.

Означення. Мінором елемента даного визначника називається визначник, одержаний з даного визначника викреслюванням і-го рядка і k-го стовпця. Таким чином мінор має порядок на одиницю менший, ніж порядок даного визначника.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента називається його мінор, узятий зі своїм знаком, якщо – парне число, і з протилежним знаком, якщо – непарне число, тобто

.

Тепер ми бачимо, що формулу (1.2) можна записати у вигляді

. (1.3)

Цю формулу називають розкладанням визначника за елементами першого рядка.

Обчислення визначника будь-якого порядку п виконується за аналогічною формулою:

, (1.4)

таким чином визначник п-го порядку виражається через визначники -го порядку, якими є . Застосовуючи формулу (1.4) до і повторюючи цю процедуру, прийдемо кінець кінцем до визначників 2 порядку.

Зауваження. Далі буде з’ясовано, що обчислення будь-якого визначника можна виконувати розкладанням його за елементами не лише першого, але і будь-якого іншого рядка або стовпця.

Приклад. Обчислити визначник

.

Розкладемо визначник за елементами першого рядка відповідно до формули (1.4):

=

== =+

+=.

Перевіримо слушність зробленого зауваження: розкладемо тепер визначник за елементами другого стовпця:

=

==

=.

Одержано, як і слід було чекати, той самий результат.

Властивості визначників.

Розглянемо властивості визначників на прикладі визначників третього порядку, хоча всі ці властивості мають місце для визначників будь-якого порядку.

1) Визначник не зміниться, якщо замінити його рядки стовпцями з тим самим номером (таке перетворення називається транспонуванням):

=.

Доводиться перевіркою за допомогою формули (1.4). Ця властивість встановлює рівноправність рядків і стовпців визначника. Тому кожна властивість визначника, яка має місце для його рядків, буде справедливою і для стовпців.

2) Якщо поміняти місцями два рядки (стовпці) визначника, то його знак зміниться на протилежний. Наприклад,

= – .

Доведення – перевіркою за допомогою формули (1.4).

Властивості 1 і 2 дозволяють обґрунтувати твердження про те, що обчислення визначника можна здійснювати розкладанням його за елементами будь-якого рядка чи стовпця, тобто формулу (1.4) можна узагальнити так:

, (1.5)

де або – будь-яке з чисел (визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення).

3) Визначник, який має два однакових рядки (стовпці) дорівнює нулю.

Справді, якщо у визначника два однакових рядки (стовпці) то помінявши їх місцями, ми змінимо знак визначника на протилежний (властивість 2), водночас сам визначник не зміниться, тобто

, звідки і .

4) Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника. Наприклад,

=.

Для доведення досить розкласти визначник за елементами другого стовпця і винести спільний множник за дужки. З властивості 4 випливає, що коли всі елементи деякого рядка (стовпця) – нулі, то й визначник дорівнює нулю.

5) Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Це випливає з властивостей 4 і 3. За властивістю 4 спільний множник елементів цих рядків можна винести за знак визначника, внаслідок чого отри-маємо визначник з двома однаковими рядками, рівний нулю за властивістю 3.

6) Якщо кожний елемент -го рядка (-го стовпця) є сума двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, один з яких у -му рядку (-му стовпці) містить перші із згаданих доданків, а інший – другі; елементи, які стоять на решті місць, у всіх трьох визначників одні й ті ж. Наприклад,

=+.

Для доведення достатньо розкласти ці визначники за елементами відповідного рядка (стовпця) і переконатися в рівності лівої і правої частин.

7) Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого його рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те ж число.

Ця властивість випливає з властивостей 3, 4, 6. Наприклад, нехай

і

Тоді

=+=.

8) Сума добутків елементів деякого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Справді, сума елементів, наприклад, -го рядка на алгебраїчні доповнення відповідних елементів -го рядка: є згідно з формулою (1.5) розкладанням визначника, в якому -й та -й рядки однакові і який за властивістю 3 дорівнює нулю.

Властивість 8 дозволяє записати формулу (1.5) у вигляді:

(1.6)

Зауважимо, що використання властивостей визначника, зокрема властивості 7, часто дозволяє спростити його обчислення.

Приклад. Обчислити визначник .

Цей визначник уже розглядався вище. Користуючись властивістю 7, додамо до елементів другого стовпця елементи першого, помножені на , а до елементів третього стовпця елементи першого, помножені на :

==

.

Як бачимо, обчислення істотно спростилися порівняно з безпосереднім розкладанням визначника.