2.4. Приклади геометричних застосувань декартових координат

1. Лінійні дії над векторами.

а) Додавання: при додаванні векторів складаються відповідні координати цих векторів, тобто якщо , , то

;

б) множення на число: при множенні вектора на число всі його координати помножаться на це число, тобто якщо λ – число і – вектор, то

. (2.5)

2. Умова колінеарності двох векторів.

Вектори і паралельні (колінеарні) тоді і тільки тоді, якщо існує таке число λ, що .

Дійсно, якщо , то  за означенням множення вектора на число.

Навпаки, якщо , то , де – орт вектора , знак плюс береться, якщо , знак мінус – якщо . Звідки

= = , де .

Отже, враховуючи (2.5), для координат колінеарних векторів виконуються рівності , , , або

. (2.6)

Таким чином два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні.

3. Координати вектора, заданого початковою і кінцевою точкою.

Нехай задано точки М₁ і М₂. Треба знайти координати вектора .

Розглянемо радіус-вектори

і .

Рис. 2. 8

Очевидно (рис. 2.8), що = , звідки

=. (2.7)

Отже, щоб одержати координати вектора , треба від координат кінця вектора М₂ відняти відповідні координати його початку М₁.

4. Поділ відрізка в даному відношенні.

Рис. 2. 9

З адано (рис. 2.9) кінці відрізка, точки М₁ і М₂. Треба знайти на цьому відрізку точку М таку, що ( – задане число). Маємо

,

,

.

Розглянемо вектори = і =.

За умовою і , тому = або ==, звідки , або

.

Прирівнюючи координати лівої і правої частини, одержимо:

; ; . (2.8)

Зокрема, якщо М – середина відрізка М₁М₂, то = 1, отже

; ; . (2.9)

(координати середини відрізка дорівнюють середнім арифметичним відповідних координат кінців відрізка).

Приклад 1. Знайти вектор , де = ( 2; -3; -2), = ( -1; 0; 3).

За формулою (2.5), 2= ( 2·2; 2·(-3); 2·(-2)) = ( 4; -6; -4), 5= ( 5·(-1); 5·0; 5·3) = ( -5; 0; 15).

= (4 – (-5); -6 – 0; -4 – 15) = ( 9; -6; -19).

Приклад 2. Задано точки А( 5; -1; -2) та В( -1; 4; -3). Знайти вектор .

За формулою (2.7), = ( -1 – 5; 4 – (-1); -3 – (-2)) = ( -6; 5; -1).

Приклад 3. Чи колінеарні вектори = ( 2; -3; -2) та ?

Вектор задано його розкладанням по базису. Випишемо його координати: = ( 6; -9; -6). Перевіримо, чи виконується рівність (2.6):

, , , тобто дійсно . Значить, .

Приклад 4. Чи колінеарні вектори = ( 4; 0; -10) та = ( -2; 0; 5)?

В цьому випадку перевірити рівність (2.6) неможливо, тому що координата = 0. Проте можна помітити, що -2= ( 4; 0; -10) = . Значить, за умовою колінеарності .

2.5. Скалярний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток модулів цих векторів і косинуса кута між ними:

(2.10)

(в літературі скалярний добуток може також позначатися символом ).

Отже скалярний добуток двох векторів є число (скаляр). Враховуючи формулу (2.4), можна написати:

. (2.11)

Формули (2.11) виражають геометричний зміст скалярного добутку: скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора.

3 фізики відомо, що робота А сили при переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора , який утворює з вектором кут α (рис. 2.10), дорівнює А =, або

A = .

Отже, робота дорівнює скалярному добут­ку вектора сили на вектор переміщення. В цьому суть механічного змісту скалярного добутку.

α

Рис. 2.10

Сформулюємо основні властивості скалярного добутку.

1) – комутативність (на підставі означення – формули (2.10)).

2) – асоціативність відносно множення на число (випливає з формули (2.11) і властивості проекцій (2.3)).

3) – дистрибутивність відносно додавання (випливає з формул (2.11) і (2.2)).

4) Скалярний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники взаємно ортогональні (перпендикулярні):

(2.12)

(випливає з означення, формула (2.10)).

5) На підставі означення (2.10) скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля:

(2.13)

Тому , при чому рівність має місце лише при .

Зауваження. Алгебраїчні властивості скалярного добутку (властивості 1-3) дозволяють у виразах, що містять скалярний добуток, виконувати потрібні перетворення і обчислення за звичайними правилами алгебри.

Вираз скалярного добутку через координати співмножників.

Нехай –базис. Тоді

(тому, що , , ) (2.14)

і (тому, що). (2.15)

Якщо і , то, застосовуючи властивості 1-3 скалярного добутку

=++ ++++++ ++.

Враховуючи формули (2.14) і (2.15), одержимо

= , (2.16)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат співмножників.

Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів , якщо .

Згідно з означенням (2.10)

= 4·3·cos 60^º = 12·0,5 = 6.

Приклад 2. Знайти скалярний добуток векторів , якщо = = , = ( 2; 1; 4).

Випишемо координати вектора : = ( 5; -9; -6). За формулою (2.16)

= 5·2 + (-9)·1 + (-6)·4 = 10 – 9 – 24 = -23.