7. Циліндричні поверхні. Циліндри другого порядку.

Означення. Циліндричною поверхнею або циліндром називається поверхня, утворена паралельними прямими, які називаються її твірними. Якщо яка-небудь площина перетинає всі твірні циліндра, то лінія перетину (l) називається напрямною цієї циліндричної поверхні (рис. 3.26).

Розглянемо, наприклад, циліндричну поверхню (S) з твірними, паралельними осі Оz (рис. 3.26). Нехай (l) – лінія перетину циліндра з площиною Оxy, тобто напрямна циліндра. В площині Оxy лінія (l) визначиться деяким рівнянням вигляду

. (3.65)

Покажемо, що в просторі це рівняння визначає дану циліндричну поверхню (S). Справді, точка простору лежить на заданому циліндрі тоді и тільки тоді, коли її проекція на площину Оxy лежить на лінії (l), тобто коли її координати x і y задовольняють рівнянням (3.65) незалежно від третьої координати z.

Таким чином, рівняння циліндричної поверхні з твірними, паралельними осі Оz, не містить координати z і є ідентичним за формою рівнянню напрямної в площині Оxy.

Аналогічно рівняння і визначають циліндричні поверхні, твірні яких паралельні відповідно Оx і Оy.

Розглянемо найбільш загальний вигляд рівняння поверхні другого порядку, яке не містить змінної z:

(3.66)

Це рівняння визначає циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі Оz. На площині ж воно визначає алгебраїчну лінію другого порядку, яка являє собою напрямну цього циліндра. Це рівняння було досліджене в п. 3.10. Якщо не враховувати випадків виродження, воно може визначати на площині Оxy еліпс, гіперболу, або параболу. Відповідно рівняння (3.66) визначає в просторі еліптичний циліндр (рис. 3.27), гіперболічний циліндр (рис. 3.28) або параболічний циліндр (рис. 3.29).

3.12. Лінійчаті поверхні і поверхні обертання

1. Лінійчатою поверхнею називається поверхня, утворена з прямих ліній, які називаються її прямолінійними твірними. Очевидно лінійчатими поверхнями є конуси і циліндри. В п. 3.11 згадувалось, що лінійчатими поверхнями є також однополий гіперболоїд і гіперболічний параболоїд. Виведемо рівняння прямолінійних твірних для цих поверхонь.

Рівняння однополого гіперболоїда (3.59)

,

перепишемо у вигляді

,

або

,

і розглянемо пару рівнянь першого степеня

(3.67)

де p і q – деякі фіксовані числа, не рівні одночасно нулю. Кожне з рівнянь (3.67) є рівнянням площини, а разом вони визначають пряму. Змінюючи p і q, одержимо нескінченну систему прямих. Координати кожної точки такої прямої, задовольняючи рівняння (3.67), задовольняють і рівняння гіперболоїда (3.59), тому що перемножуючи почленно рівняння (3.67), отримаємо рівняння (3.59). Отже всі точки прямої (3.67) належать до гіперболоїда, тобто на гіперболоїді лежить уся пряма (3.67). Можна довести, що через кожну точку однополого гіперболоїда проходить одна і тільки одна пряма із системи прямих, визначених рівнянням (3.67) при різних значеннях p і q (не рівних одночасно нулю). Отже ці прямі лежать на однополому гіперболоїді і цілком покривають його, тобто вони є прямолінійними твірними однополого гіперболоїда.

Ще одну систему прямолінійних твірних однополого гіперболоїда визначають рівняння

(3.68)

з усіма тими ж властивостями, що і (3.67).

Таким чином, однополий гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею.

Цілком аналогічно можна пересвідчитися, що гіперболічний параболоїд (3.64)

також має дві системи прямолінійних твірних, з яких одна визначається рівняннями

а друга рівняннями

Лінійчаті поверхні широко використовуються в будівельній механіці. Лінійчатість поверхні дозволяє конструювати її з прямолінійних елементів (балок чи стержнів), розташованих вздовж прямолінійних твірних поверхні. При цьому спрощується технологія і досягається легкість і міцність конструкції. Зокрема, ідея використання в будівництві однополого гіперболоїда належить видатному російському інженерові В.Г. Шухову (1853-1939). За його проектом побудовано, наприклад, радіовежу в м. Москві, яка складається з секцій однополих гіперболоїдів.

2. Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням заданої плоскої лінії навколо заданої прямої (осі обертання), що лежить у площині цієї лінії.

Нехай, наприклад, лінія (l), яка лежить у площині Оxy і має в цій площині рівняння , обертається навколо осі Оx. Візьмемо на одержаній поверхні довільну точку і знайдемо відповідну точку на лінії (l). Тоді , , а (див. рис. 3.30).

Але , отже . Точка лежить на (l), отже , тобто . Це і є рівняння даної поверхні обертання. Аналогічним чином доведемо, що поверхня, утворена обертанням лінії з рівняннями

навколо осі Оy, має рівняння , а поверхня, утворена обертанням лінії з рівняннями

навколо осі Оz, має рівняння .

Таким чином, щоб дістати рівняння поверхні обертання кривої навколо координатної осі, треба в рівнянні кривої залишити без зміни координату, яка відповідає осі обертання, а другу координату замінити на квадратний корінь із суми квадратів двох інших координат, взятий з відповідним знаком.

Поверхні обертання взагалі і зокрема алгебраїчні поверхні другого порядку, утворені обертанням алгебраїчних ліній другого порядку навколо їх осей симетрії, мають багато технічних застосувань. Зазначимо тут використання так званих оптичних властивостей ліній другого порядку:

1. Якщо в один із фокусів еліпса вмістити точкове джерело світла, то промені, відбиті від контура еліпса, зійдуться у другому фокусі.

2. Якщо у фокусі параболи вмістити джерело світла, то його промені, відбиті від параболи, підуть далі паралельним пучком в напрямі осі симетрії параболи (і навпаки, пучок променів, паралельних осі параболи, після відбиття зійдеться в її фокусі).

3. Якщо вмістити джерело світла у фокусі гіперболи, то відбиті від гіперболи промені розходяться вздовж прямих, які перетинаються в другому фокусі гіперболи.

Завдяки переліченим властивостям поверхні, одержані обертанням кривих другого порядку навколо осей симетрії, широко застосовуються у дзеркальних системах оптики і радіотехніки. Зокрема, рефлекторам освітлювальних пристроїв, антенам радіотелескопів, супутникового телебачення, тощо, надається форма параболоїда обертання.

107