13.4. Metoda programării liniare

Programarea liniară este o metodă de rezolvare a problemelor de luare a deciziei. Următoarele tipuri de aplicaţii sunt specifice pentru rezolvarea lor cu ajutorul programării liniare:

1. Un manager trebuie să stabilească pentru perioada următoare programul de producţie şi nivelul stocurilor astfel încît să fie satisfăcută cererea de pe piaţă şi în acelaşi timp vrea să minimizeze costul total de producţie şi costurile de stocare.

2. Un analist financiar trebuie să selecteze pentru un portofoliu de investiţii cea mai bună combinaţie de acţiuni şi obligaţiuni. Aceste investiţii trebuie selectate astfel încît să se maximizeze eficienţa investiţiei.

3. Un director de marketing trebuie să stabilească modul în care va distribui bugetul pentru publicitate în diverse medii: radio, televiziune, ziare şi reviste, astfel încît efectul reclamei făcute să fie maxim.

4. O companie are depozite în cîteva oraşe din ţară şi primeşte comenzi de la clienţi din diverse localităţi. Se pune problema determinării cantităţilor care vor fi trimise de la depozite spre clienţi astfel încît costurile totale de transport să fie minimizate.

Acestea sunt doar cîteva exemple în care programarea liniară a fost utilizată cu succes, dar lista poate continua. Ce au în comun aceste exemple este faptul că ele încearcă să minimizeze sau să maximizeze ceva. În primul exemplu managerul vrea să minimizeze costurile; în exemplul 2 analistul financiar vrea să maximizeze eficienţa investiţiei; în exemplul 3 directorul de marketing trebuie să maximizeze eficienţa reclamei; în exemplul 4 trebuie minimizate cheltuielile de transport. În toate problemele de programare liniară, obiectivul este maximizarea sau minimizarea unor cantităţi.

Toate problemele de programare liniară au şi o a doua proprietate: restricţiile care limitează gradul în care obiectivul poate fi realizat. În exemplul 1 producţia este limitată de capacitatea de producţie şi în acelaşi timp trebuie să satisfacă cererea; în exemplul 2 analistul este limitat de suma disponibilă şi tipul acţiunilor existente; în exemplul 3 directorul de marketing este constrîns de bugetul fixat şi de disponibilitatea mediilor de reclama; în exemplul 4 cantităţile ce pot fi transportate sunt limitate la disponibilul din fiecare depozit. Deci, restricţiile sunt o altă trăsătură generală a fiecărei probleme de programare liniară.

Exemplu

Firma ABC produce o varietate de produse chimice. În cadrul unui proces de producţie, pentru a produce două produse (un aditiv şi un solvent) sunt necesare trei tipuri de materii prime. Aditivul este vîndut fabricilor de ulei şi este folosit la producerea a diverse tipuri de combustibil. Solventul este vîndut combinatelor chimice şi este utilizat la fabricarea detergenţilor. Pentru a fabrica aditivul şi solventul cele trei materii prime sunt amestecate în proporţiile indicate în tabelul 13.1.

	Produs
	Aditiv	Solvent
Material 1	2/5	½
Material 2	0	1/5
Material 3	3/5	3/10

Produs

Tabelul– Necesarul de materii prime pentru obţinerea unei tone de adidiv/solvent

Pentru a obţine o tonă de aditiv se amestecă tone d material 1şi tone de material 3. O tonă de solvent poate fi obţinută prin amestecarea atone de material 1, tone de material 2 şi tone de material 3.

Producţia este limitată de disponibilitatea celor trei materii prime. În prezent firma dispune de 20 tone de material 1, 5 tone de material 2 şi 21 tone de material 3. Prin natura procesului de producţie, materiile prime care nu sunt utilizate în procesul de producţie curent sunt considerate deşeuri.

Fiecare tonă de aditiv aduce un profit de 40$ , iar fiecare tonă de solvent aduce un profit de 30$.

Managementul firmei ABC, după analiza cererii de pe piaţă, a decis că preţurile stabilite vor determina vînzarea întregii cantităţii produse (aditiv şi sovent).

Formularea problemei

Formularea problemei sau modelarea reprezintă procesul de transpunere a problemei într-un model matematic. Modelarea problemei este o artă care poate fi stăpînită prin practică şi experienţă. Deşi fiecare problemă are caracteristici unice, multe probleme pot avea trăsături comune. Ca urmare, pentru începători pot fi utile o serie de reguli ce pot fi aplicate pentru formularea unui model, reguli ce vor fi ilustrate în dezvoltarea modelului matematic pentru firma ABC.

Acest exemplu a fost selectat pentru a introduce metoda programării liniare pentru că este uşor de înţeles. În practică apar probleme mai complicate, care necesită o analiză mai profundă pentru a identifica toate aspectele care trebuie incluse în model.

Primul pas este identificarea obiectivului şi a restricţiilor. În cazul nostru obiectivul este maximizarea profitului total. Restricţiile se referă la cantităţile de materii prime disponibile, care limitează cantităţile de aditiv şi solvent ce pot fi produse.

Restricţia 1: cantitatea de material 1 utilizată trebuie să fie mai mică sau egală cu cantitatea de material 1 disponibilă.

Restricţia 2: cantitatea de material 2 utilizată trebuie să fie mai mică sau egală cu cantitatea de material 2 disponibilă.

Restricţia 3: cantitatea de material 3 utilizată trebuie să fie mai mică sau egală cu cantitatea de material 3 disponibilă.

Următorul pas este definirea variabilelor de decizie. Cele două variabile de decizie sunt: numărul de tone de aditiv produse şi numărul de tone de solvent produse.

Notăm cu:

A: cantitatea de aditiv produsă (tone)

S: cantitatea de solvent produsă (tone)

A şi S sunt variabile de decizie.

Se scrie obiectivul utilizînd variabilele de decizie. Profitul total provine din două surse: vînzările de aditiv şi vînzările de solvent. Dacă profitul obţinut prin vînzarea unei tone de aditiv este de 40$, atunci prin vînzarea a A tone profitul va fi 40*A. La fel, dacă profitul obţinut prin vînzarea unei tone de solvent este de 30$, atunci prin vînzarea a S tone profitul va fi 40*S.

Profitul total =

Expresia matematică a obiectivului se numeşte funcţie obiectiv. În cazul nostru obiectivul este maximizarea profitului total, deci funcţia obiectiv va fi:

Se scriu restricţiile utilizînd variabilele de decizie.

Restricţia 1. Deoarece o tonă de aditiv este produsă folosindtone de material 1, cantitatea de material 1 necesară pentru a produce A tone de aditiv este. Pentru fiecare

tonă de solvent se folosesc tone de material 1, deci cantitatea de material 1 necesară pentru a produce S tone de solvent este Astfel, cantitatea totală de material 1 necesară este Cantitatea disponibilă de material 1 este de 20 tone, deci transpunerea sub formă de ecuaţie a restricţiei 1 este:

Restricţia 2. Deoarece la fabricareaaditivului nu este necesar materialul 1 se va lua în lua în calcul doar cantitatea de material 2 utilizată la fabricarea solventului. Pentru fiecare tonă de solvent se folosesc tone de material 2, deci cantitatea de material 2 necesară pentru a produce S tone de solvent esteAstfel, cantitatea totală de material 2 necesară

esteCantitatea disponibilă de material 2 este de 5 tone, deci transpunerea sub formă de ecuaţie a restricţiei 2 este:

Restricţia 3. Deoarece o tonă de aditiveste produsă folosindtone de material 3, cantitatea de material 3 necesară pentru a produce A tone de aditiv estePentru fiecare

tonă de solvent se folosesctone de material 3, deci cantitatea de material 3 necesară pentru a produce S tone de solvent esteAstfel, cantitatea totală de material 3

necesară esteCantitatea disponibilă de material 3 este de 21 tone, deci transpunerea sub formă de ecuaţie a restricţiei 3 este:

Pînă acum am specificat relaţiile matematice referitoare la constrîngerile asociate celor trei materii prime. Mai trebuie oare alte restricţii? Poate firma ABC să producă un număr negativ de tone de aditiv şi solvent? Răspunsul este evident nu. Deci pentru ca variabilele de decizie să nu aibă valori negative mai sunt necesare două restricţii:

Modelul matematic al problemei este acum complet. Atît obiectivul cît şi restricţiile au fost transformate într-un set de relaţii matematice, set de relaţii definit ca model matematic. Modelul matematic complet al problemei este:

Pentru rezolvarea problemei trebuie găsită combinaţia optimă (de A şi S) care să satisfacă toate restricţiile şi în acelaşi timp să conducă la o valoare a funcţiei obiectiv care să fie mai mare sau egală decît orice valoare calculată cu o altă soluţie posibilă.

Dacă funcţia obiectiv şi restricţiile sunt funcţii liniare în raport cu variabilele de decizie (variabilele de decizie apar numai la puterea I), atunci avem o problemă de programare liniară.

Pentru rezolvarea problemelor de programare liniară există mai multe metode analitice: metoda Simplex, metoda grafică. În continuare vom prezenta modul în care pot fi rezolvate problemele de programare liniară utilizînd foile de calcul (Microsoft Excel).